Линейные операторы и матрицы

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Выберем в пространстве базис

и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора получим:

т.к так же вектор из ,то его можно разложить по базису.

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг r матрицы А - рангом

оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: Всякой матрице n-го порядка соответствует оператор n-мерного пространства.

Определим действия над линейными операторами:

1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор определяемый

равенством

2. Произведением линейного оператора на число λ называется оператор

определяемый

Произведением линейных операторов и называется оператор

определяемый

Определим нулевой оператор переводящий все векторы пространства в нулевые вектора

и тождественный оператор действующий по правилу

Теорема Матрицы А и А* линейного оператора в базисах е₁,е₂, ..е_n и е₁^*,е₂^*, ..е_n^* связаны соотношением А*=С^-1АС, где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Собственные векторы линейных операторов

Вектор Х , не равный нулю, называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ.

Число λ называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х.

Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы А.

Решение системы линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.

Метод Крамера

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

где j=1..n.

Решиение системы матричной формы

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной,

если она имеет единственное решение, и

неопределенной, если она имеет более одного

решения.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим: где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.Систему (1) можно записать в виде: АХ=В.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.

Рассмотрим матрицу:

эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Сущность и условия применения теории вероятностей.

Основные понятия ТВ.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

— достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

— невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

— случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Виды событий

— Случайные события A₁,A₂,…,A_n образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них .

— Случайные события A₁,A₂,…,A_nназываются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

— Случайные события A₁,A₂,…,A_n называются единственно возможными, если в результате испытаний происходит какое-либо одно и только одно из этих событий.

— Равновозможные события - несколько событий в данном опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляетсясобытие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

— Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

— Вероятность достоверногособытия равна единице.

— Вероятность невозможного события равна нулю

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: