Общие проблемы оптимизации запоминаемого содержания обучения

В настоящее время гуманизации и личностно-ориентированной направленности образования остро стоит вопрос, связанный с приоритетом развития способностей учащихся самостоятельно добывать, обрабатывать и использовать новую информацию, разрешать возникающие проблемные ситуации.

Приоритет усвоения обучаемыми способов и методов самостоятельного приобретения, присвоения новой информации, новых способов деятельности по отношению к усвоению типовой, безальтернативной информации и действий по образцу требует при его реализации существенного пересмотра содержания образования. Очевидно, что для расширения объема времени, выделяемого на освоение способов и методов, обеспечивающих активное и самостоятельное усвоение новой информации, необходимо, прежде всего, уменьшить объем содержания, которое необходимо запоминать и использовать, опираясь только на долгосрочную память обучаемого, без обращения к другим хранилищам информации.

Проблемы оптимизации содержания обучения – минимизации объема усваиваемого содержания при его достаточной полноте, которая в современном информационном обществе может обеспечить активную адаптацию выпускника в быстро меняющемся социуме, его саморазвитие и самореализацию – были и остаются актуальными проблемами педагогики [29, 107].

В процессе совершенствования содержания обучения особую значимость приобретает оптимизация объема запоминаемого содержания, поскольку на его усвоение затрачивается необоснованно большая часть времени обучения. Более того, есть основания считать, что приоритетность поэлементного запоминания тормозит развитие сознательного усвоения, системной переработки и использования информации, не способствует развитию умения ее эффективного поиска во внешних (по отношению к обучаемому) источниках.

Уточним терминологию. Говоря о запоминаемых УЭ, мы имеем в виду те УЭ, воспроизведение и использование которых в аттестационной и иной ответственной оценочной деятельности исключает возможность использования внешних (по отношению к испытуемому) источников информации.

Для однозначности договоримся понимать под объемом запоминаемого содержания обучения совокупность учебных элементов содержания, использовать которые в учебном процессе и в оценочных процедурах обучаемый должен, опираясь только на собственную память, не обращаясь к каким-либо внешним источникам информации.

В когнитивной модели памяти по Р. Аткинсону [13] означает обращение к долговременному хранилищу памяти, затем сравнение вызванного элемента памяти (если он найден в долговременном хранилище) с поступившим в кратковременное хранилище памяти (КВХ) отражением элемента текста задачи. В случае совпадения этих следов памяти следует узнавание,затем этот элемент остается в КВХ, для дальнейшего использования в процессе выполнения задания. Существенно, что в соответствии с законом Миллера объем кратковременной памяти человека ограничен 7 ± 2 элемента. Это хорошо обоснованное свойство памяти делает особенно актуальным запоминание не отдельных элементов содержания, а их логически связанных совокупностей. Освоенные и присвоенные обучаемым логически связанные совокупности УЭ в соответствии с семантическими и сетевыми моделями памяти могут существенно повысить эффективность припоминания.

На процесс осмысленного запоминания влияют такие факторы, как структура материала, образование ассоциативных связей между понятиями, частота использования понятий. Но не только логичность изложения влияет на запоминание материала. Известно, что процесс усвоения и забывания информации можно представить в простейшем случае кривой, изображенной на рис. 1.1.

Восходящая ветвь кривой соответствует процессу восприятия, нисходящая - забывания. Время, соответствующее наибольшему объему информации, находящейся в памяти (Т) - это время окончания изложения материала. Сразу после этого начинается процесс забывания. Весь процесс описывается уравнением:

где l₁ и l₂ - параметры, зависящие от количества и качества ассоциативных связей и статистических характеристик забывания.

При t ®∞ функция j(l₁,l₂,t)®0, что соответствует полному забыванию информации по истечении достаточно большого промежутка времени.

Важную роль в запоминании играет периодическое повторение информации. Последнее происходит в ходе самостоятельной работы, на лабораторных и практических занятиях, а также при неоднократных ссылках лекторов на знакомый материал.

рис. 1.1

Опытным путем установлено, что материал успешно вспоминается, если объем оставшейся в памяти информации не меньше 0.7 от первоначальной: j³0.7j₀. Время, через которое в памяти остается меньший объем информации, зависит от параметров информации, но ясно одно: чем меньше время между повторениями информации, тем прочнее усваивается пройденный материал и новый материал на основе создания ассоциативных связей в понимании обучаемого. Анализируя рис. 1.1 можно заметить, что, если для изложения понятия j требуется понятие i, то в какой-либо момент времени t₂ через время t₁ после изложения понятия i оно становится недоступно для восприятия, т.к. в памяти обучаемого осталось менее 0,7 от первоначального объема информации.

Если существует однократное повторение материала, то кривая будет иметь следующий вид, представленный на рис. 1.2.

рис. 1.2

рис. 1.3

При многократном повторении, в результате образования устойчивых ассоциативных связей, кривая может быть приблизительно аппроксимирована пунктирной кривой на рис. 1.3.

При этом будем считать обобщенным учебным элементом (УЭ)– любую, логически завершенную (логически полную), достаточно автономную составляющую (компонент) содержания образования. При конкретизации УЭ могут быть: эмпирические факты; понятия (термины); аксиомы; теоремы; законы; закономерности; методы, алгоритмы, процедуры, описывающие преобразования, операции, действия с понятиями, определениями; модели и т.п. [154]. Субъективность в конкретизации УЭ аналогична (можно сказать, эквивалентна) известной субъективности в выделении подсистем реальной, материальной или материализованной системы. По сути, именно это и делается, если считать содержание обучения является абстрактной (понятийной) системой.

Обоснованная и убедительная оптимизация содержания обучения и, особенно, запоминаемой его части, должна опираться на результаты максимально полного рационального анализа значимости учебных элементов, входящих в это содержание.

Рациональный подход к изложению требует объяснения, какой смысл мы вкладываем в понятие «значимость учебного элемента содержания обучения». Будем считать общепризнанным, что значимость УЭ определяется местом и ролью, которую данный элемент играет в целях образования, обучения, т.е. значимостью данного УЭ в концептуальной модели выпускника соответствующего образовательного уровня.

Предлагаемое сокращение объема запоминаемого содержания обучения необходимо для:

o взвешенного сокращения объема репродуктивной части обучения и расширения его продуктивной (субъективно творческой) части;

o отработки важных в современном мире умений эффективного поиска, переработки и использования информации, хранящейся во внешних источниках информации;

o увеличения объема времени на самостоятельную учебную, учебно-поисковую и учебно-исследовательскую деятельность обучаемых на их индивидуальное саморазвитие и самосовершенствование;

o рационального, обоснованного определения содержания средств оценки (содержания педагогических измерительных материалов) степени обученности выпускников и учащихся образовательных учреждений разного уровня, опирающихся на использование именно запоминаемого содержания обучения.

Последнее особенно существенно для аттестационных оценочных процедур, таких как единый государственный экзамен (ЕГЭ), централизованное тестирование (ЦТ), строго ориентированных на запрет использования широкого спектра внешних (по отношению к памяти испытуемого) источников информации.

Школа, ориентируясь на оперативно и надежно оцениваемые тестами требования, будет в первую очередь усилия обучаемых сосредотачивать на отработке того, что наиболее жестко требуют и надежно оценивают, при этом внимание и временные затраты учащихся будут направлены на эту часть подготовки в ущерб развитию личности.

Без оптимизации объема запоминаемого содержания в оценочных средствах стремление к сокращению репродуктивной составляющей обучения не может быть реализовано. Именно содержание аттестационных процедур, особенно, содержание выпускных экзаменов в школе и вступительных экзаменов в вузы, определяет на сегодня и объем содержания обучения, и требуемый уровень подготовленности выпускников общего среднего образования, практически становясь реальными, конкретными целями их подготовки.

Именно эти конечные цели подготовки за счет своей конкретности и сравнительно легкого оценивания степени их достижения превращаются в совокупности промежуточных диагностируемых целей уроков, контрольных работ и т.п. На достижение этих целей приоритетно работают традиционные образовательные методы и технологии.

Говоря о целях школьной математики, как о предметных в целостной совокупности конечных целей подготовки выпускника полного среднего образования, выделим два наиболее существенных аспекта. Прежде всего, предназначение математики - обеспечивать развитие абстрактно-логического, вербально-логического мышления, приоритетно построенного на дедуктивных, алгоритмизированных суждениях и умозаключениях. Только после этого в целевых установках изучения математики следуют уровни владения, использования выпускниками конкретных элементов этой обширной учебной дисциплины, которые они могут извлекать из собственной памяти. Последнее сильно дифференцировано. Для значительной части выпускников современной средней школы использование конкретных УЭ математики как собственная цель обучения определяется только успешностью выпускных экзаменов, возможно, успешностью сдачи обязательного вступительного экзамена в вуз по математике[1]. В других ситуациях целесообразней пользоваться справочником.

Следовательно, до тех пор, пока различные типы аттестационных процедур будут приоритетно ориентированы именно на простое воспроизведение и использование фактов, формул, типовых алгоритмов и процедур, хранящихся в собственной памяти обучаемого оптимальное сокращение объема запоминаемой информации невозможно.

Все органы управления образованием от федерального уровня до конкретного преподавателя постоянно решают проблему оптимизации запоминаемого содержания обучения, определяя совокупность учебных элементов, использование которых в оценочных процедурах разного уровня (от ЕГЭ, вступительных экзаменов в вузе, выпускных экзаменов общего образования, до контрольных классных работ) должно опираться только на собственную память ученика, абитуриента, студента. Каждое такое решение принимается чаще всего на основе имеющегося опыта интуитивно в расчете на явно или неявно выраженное одобрение профессиональным сообществом.

Выделяя в определении запоминаемого содержания обучения его ориентированность на оценочные процедуры, мы хотим подчеркнуть ту завышенную роль, которую играют в сегодняшней системе образования наиболее ответственные оценочные процедуры. Действительно же, в логически непротиворечивых моделях образовательных систем приоритетную, системообразующую роль играют абстрактные (идеальные) и конкретные цели функционирования и развития системы. При этом конкретные цели, реализуя в учебном процессе абстрактные цели, определяющие направление, стремление к обобщенному, идеальному результату, предполагают наличие оценочной процедуры, которая должна установить степень реального достижения цели. Другими словами, цель как предполагаемый результат совокупности действий, становится конкретной лишь тогда, когда она согласовывается с оценочной процедурой, позволяющей действительно установить степень ее достижений. В проектировании модели образовательного процесса цели (конечные и промежуточные) определяются в неразрывной связи с содержанием образования и согласовываются с начальным состоянием, ресурсами системы, методами, технологиями достижения целей, включая методы, процедуры оценивания степени достижения конкретных целей. Только в последовательности - от целей, связанных с содержанием, к процедурам оценки – сами эти процедуры, содержание и сложность оценочных (измерительных) материалов занимают соответствующее им место.

Если же содержание и вид оценочных процедур появляются вне прямой связи с целями образования, с целями обучения, то содержание, сложность оценочных процедур сами становятся целями обучения.

Есть все основания считать, что содержание, сложность единого государственного экзамена достаточно независимо от целей постепенно станет целью подготовки выпускников полного общего образования, как содержание, сложность вступительных экзаменов в вузах, централизованного тестирования уже стали целями подготовки выпускников школы, ориентированных на получение высшего образования.

В логически обоснованной модели образовательного процесса объем запоминаемого содержания определяется целями и обеспечивает успешность:

· понимания, усвоения сообщаемой, принимаемой информации, особенно той ее частью, скорость приема которой не определяется самим обучаемым (например, объяснение, лекция преподавателя и т.п.);

· установления ассоциативных и формально-логических связей в памяти и сознании обучаемого;

· мышления, разрешения возникающих проблемных ситуаций.

Оценочные же процедуры выступают как средства обратной связи, предоставляющие в орган управления информацию, на основании которой принимается решение о необходимости корректировки методов, ресурсов и (в определенных рамках) целей.

Пока содержание оценочных процедур от ответственейшего федерального уровня (ЕГЭ, ЦТ) до аттестационных процедур муниципального уровня не будет согласовано с целями обучения, все разговоры о приоритете культуросообразного образования над предметно-ориентированным, о вариативности образовательных программ и методов обучения останутся только разговорами.

Понимая принципиальную невозможность строгой оптимизации содержания обучения, запоминаемой его части, и реальную необходимость решения оптимизационной задачи – сокращение объема запоминаемого содержания, но до такого его массива, который обеспечит отмеченные выше аспекты успешности обучения – нужно использовать методы, позволяющие получить максимально доступную, объективную информацию о значимости элементов, традиционно включаемых в содержание образования. Информация, полученная с помощью этих методов, позволит проектировщикам содержания обучения, экспертам, ЛПР вносить более обоснованные поправки и улучшения (процесс субоптимизации по Д. ван Гигу [49]) в содержание обучения, согласовывая их с другими подсистемами целостной системы образования.

Для практического решения оптимизационной задачи необходимо разработать достаточно полную совокупность методов приемлемых с точки зрения временных затрат и сложности их реализации.

Специальные методы, представленные в третьем параграфе первой главы, позволили разработать такую совокупность. Она должна обеспечить получение обоснованной оценку значимости УЭ содержания обучения, определить минимизированный объем УЭ рекомендуемых к запоминанию и использованию в учебном процессе и процедурах оценки и диагностики, предполагающих отсутствие использования внешних источников информации. Эта совокупность обеспечивает объективно обоснованное экспертное решение, направленное на оптимизацию содержания обучения.

В разработанную совокупность методов оценки объема учебного материала, подлежащего запоминанию, включены следующие методы:

· структурно-логических схем;

· частотного анализа использования УЭ в тестах ЕГЭ и ЦТ;

· экспертной оценки значимости выделенных УЭ, являющейся результатом обработки специально разработанных анкет, которые заполнялись экспертами;

· оценки корреляции успешности воспроизведения испытуемыми основных определений, свойств функций и умений использовать связи между этими элементами, позволяющие, выполняя простые, усвоенные действия, получать более сложные соотношения и свойства из простых.

Исключение из разработанной совокупности методов количественных подходов, например метод графов, связано с исключительно большими затратами на их реализацию, неоднозначностью выделения УЭ содержания обучения, возможностью различных формально-логических траекторий, связей между этими элементами, что снижает убедительность полученных результатов.

Разработка и результаты использования совокупности методов оценки объема учебного материала, подлежащего запоминанию части математики уровня полного общего образования, включающей четыре элементарные функции

Для оптимизации содержания обучения, минимизации объема учебного материала, подлежащего запоминанию, необходимо выделить значимые УЭ. Приоритет в оценке значимости необходимо отдавать базовым понятиям, определениям и операциям с ними, т.е. тем УЭ, которые нельзя получить из других путем доступных обучаемому формально-логических операций и которые при их минимальном количестве позволяют без сложностей получить остальные соотношения.

Для удобства обсуждения назовем те УЭпервичными, которые выпускнику школы, студенту сложно, а иногда и невозможно, получить из других УЭ из-за необходимости выполнить большой объем типовых действий и операций. Вторичные УЭ получаются путем несложных преобразований из первичных.

Далее представлен процесс и результат разработки совокупности методов объективированной оценки объема учебного материала, подлежащего запоминанию. Включенные в совокупность адаптированные и усовершенствованные методы:

· структурно-логических схем, которые фиксируют формально-логические связи между УЭ;

· частотного анализа использования УЭ в тестах ЕГЭ и ЦТ, который определяет значимость УЭ, заложенную в тестах;

· экспертной оценки значимости УЭ, оцениваемых профессиональным сообществом вузовских преподавателей математики;

· оценки корреляции успешности воспроизведения испытуемыми основных определений, свойств функций, и умений использовать связи между этими элементами, позволяющие, выполняя простые, усвоенные действия, получать вторичные соотношения из первичных элементов содержания

- позволяют достаточно полно и объективно оценить объем учебного материала, подлежащего запоминанию в курсе математики полной средней школы.

С целью обоснованного разделения совокупности элементов на первичные и вторичные были построены структурно-логические схемы (СЛС) четырех функций (степенной, показательной, логарифмической и тригонометрической) по двум комплектам учебников, рекомендованным Министерством образования авторов А.Г. Мордковича и Ш.А. Алимова и др.[5-8, 111-114]

Структурно-логические схемы строятся следующим образом. Учебные элементы, обозначенные прямоугольником с названием или аналитическим выражением, соединяются стрелками. При этом стрелки ставятся только в том случае, если в анализируемом материале явно представлена связь между элементами [37, 38, 158].

Продемонстрируем СЛС представления тригонометрической функции в комплекте учебников Ш.А. Алимова и др. (см. рис.5). Связи, обозначенные на рис.5 и названия УЭ, точно отражают представление в комплекте учебников Ш.А. Алимова.

Пунктирной линией отмечены УЭ, изученные в курсе геометрии и необходимые для получения некоторых выражений. УЭ «Знаки синуса и косинуса» предлагаются к изучению в учебнике автономно от «Определения синуса, косинуса и тангенса угла».

Рис.5 СЛС представления тригонометрической функции в комплекте учебников Ш.А. Алимова и др.

Анализируя СЛС представления степенной функции в учебниках Ш.А. Алимова и др. (см. рис.6) можно отметить, что определения «степени числа а с натуральным показателем n», «арифметического квадратного корня из числа а», «арифметического корня натуральной степени», «степени с рациональным показателем», «степени с целым показателем» представлены без наличия явной связи между ними. Элементы содержания «Определение степени с отрицательным показателем», «Определение степени с нулевым показателем» и «Определение степени с показателем равным единице» представлены независимо от «Определения степени с натуральным показателем», которые на наш взгляд являются следствием его определения или свойств функции.

Рис.6 СЛС представления степенной функции в учебниках Ш.А. Алимова

В комплекте учебников Алимова Ш.А. также не в полной мере отражены связи между показательной и логарифмической функцией, без учета связей между их определениями и свойствами (см. Приложение.1)

Комплект учебников автора Мордковича А.Г. по результатам опроса преподавателей школ, участвовавших в эксперименте по модернизации структуры и содержания математического образования (2001 – 2003 г.г.) является наиболее популярным.

Анализируя представление элементарных функций в этом комплекте учебников (см. Приложение 1) можно отметить, что последовательность изучения тем не отличается, но выделяется несколько больше УЭ, при этом количество связей между элементами содержания меньше, чем в комплекте учебников Алимова Ш.А.

При этом уделяется внимание необходимости запоминания УЭ. В учебнике введено изображение на полях книги знаков-символов. Среди символов «Рабочий словарь», «Обратите внимание», «Вспомните» имеется знак «Запомните», которым в учебниках алгебры 7-9 класс отмечено 47 элементов содержания.

Анализ содержания обучения, используя СЛС представления элементарных функций в двух комплектах школьных учебников алгебры, позволяет четко зафиксировать в графическом виде формально-логические связи между элементами содержания, обосновать разделение полного множества УЭ на первичные и вторичные и выявить особенности представления функций в комплектах авторов Ш.А. Алимова и А.Г. Мордковича.

Проанализировав содержание обучения, зафиксированное в учебниках математики рекомендованных Министерством образования РФ, были построены СЛС, представляющие структуру освоенного содержания обучения. Они отражают взаимосвязь степенной, показательной и логарифмической функциями, фиксируют связи между УЭ, позволяют обоснованно выделить первичные и вторичные УЭ.

Рис. 7 Структурно-логическая схема тригонометрической функции

На рисунке 7 изображена СЛС тригонометрической функции представляющая структуру освоенного содержания обучения. Первичными УЭ являются «Определение синуса, косинуса и тангенса угла» и «Формулы сложения» (на рисунке они выделены полужирным шрифтом), т.к. из них путем несложных преобразований получаются все остальные УЭ тригонометрической функции. Именно поэтому мы считаем необходимым включить в объем запоминаемого содержания обучения эти элементы.

Анализируя СЛС, демонстрирующие взаимосвязь степенной, показательной и логарифмической функций (см. рис.8) можно отметить, что определения функций являются исходными УЭ и на наш взгляд должны быть обязательно включены в объем запоминаемого содержания обучения. Свойства показательной и логарифмической функций являются следствиями свойств степенной функции, поэтому к первичным УЭ можно отнести именно свойства степенной функции.

Рис. 8 СЛС, демонстрирующие взаимосвязь УЭ степенной, показательной и логарифмической функций

На основе структурно-логических схем были построены таблицы, где выделены операции (или логические шаги), которые необходимо выполнить для получения формулы. Просчитав количество этих операций, можно судить о сложности получения УЭ. На основании проведенного анализа таблиц по тригонометрической функции можно отметить, что необходимо выполнить наибольшее число операций (а именно 9) для получения формулы сложения аргументов косинусов, а наименьшее число операций (2) для получения формулы зависимости тангенса и котангенса и формул двойного аргумента.

Затем был проведен сравнительный анализ утвержденного обязательного минимума основных образовательных программ полного общего образования и содержания признанных тестов достижений (ЕГЭ и ЦТ).

На основании полученных результатов можно отметить следующее:

· все элементы минимума содержания отображены в школьной программе и исключений нет;

· в указанной совокупности тестов достаточно часто используются учебные элементы формально не входящие в обязательный минимум содержания, например, теорема Пифагора;

· не все элементы минимума содержания используются в отдельных батареях тестов;

· часть элементов содержания не используется в исследованных батареях представленных выше тестовых систем;

· в задачах есть примеры выхода за пределы обязательного минимума содержания;

· количество применяемых учебных элементов больше числа заданий;

· имеет место не эквивалентность вариантов по содержанию, что противоречит условию стандартизации тестов.

Выделенные в результате анализа структурно-логических схем учебные элементы содержания были максимально однозначно описаны и проанализированы на частотность использования в тестах достижений ЕГЭ и ЦТ [32, 33, 41]. Смысл частотного анализа – определить долю (процент) использования УЭ в анализируемых заданиях тестов.

Поскольку правильно выполненные операции, действия с этими УЭ определяют успешность выполнения теста в целом, частотность использования этих УЭ, независимо от степени осознанности их включения в задания тестов, пропорциональна значимости усвоения данных УЭ.

Представим теперь описание объекта, процедуры и результатов частотного анализа тестов ЦТ и ЕГЭ.

Конкретно, проведен частотный анализ следующих тестовых заданий: ЕГЭ 2001г. - 10 вариантов по 25 заданий в каждом [57]; ЕГЭ 2002г. – демонстрационный вариант - 25 заданий [58]; ЕГЭ 2003г. – демонстрационный вариант - 30 заданий [59]; ЦТ 1999г. – пять вариантов по 20 заданий [98]; ЦТ 2000г. – десять вариантов по 20 заданий [99]; ЦТ 2002г. – 9 вариантов по 22 задания [100].

Решая проблему однозначности выделения, описания рассматриваемых УЭ, мы, отказавшись от предлагаемой в процедуре ЕГЭ их классификации, выделили перечень УЭ на основе СЛС представления функций в комплектах учебников школьной математики и разработанных СЛС, представляющих структуру освоенного знания (см. табл. Приложения 2). При этом ввели следующее описание УЭ:

Þ Степенная функция – любая, используемая в тестовых заданиях и в их решении, функция вида: х^s , s – действительное число, не равное нулю или единице, а х > 0[2].

Þ Показательная функция – любая, используемая в тестовых заданиях и в их решении, функция вида: а^х , где а и х действительные величины, а ≥ 0.

Þ Логарифмическая функция – любая, используемая в тестовых заданиях и в их решении, функция вида: log_аx, где а и х действительные, положительные величины.

Þ Тригонометрические функции соответствуют своему традиционному для школьной математики геометрическому определению, в котором х – действительное число, cosx, sinx, tgx, ctgx – соответствующие тригонометрические функции.

Þ свойства функций, для однозначности представляемые их аналитическим выражением.

Для определения частотности использования в тестах самих функций и их конкретных свойств прорешены все задачи в представленных выше вариантах и составлена таблица (См. приведенную в качестве примера обобщенную таблицу 1).

Таблица 1.

Частотность использования элементарных функций в тестах Централизованного тестирования и Единого государственного экзамена

Первая строка в списке УЭ таблицы 1 - «Наличие степенной функции» объединяет все описанные выше представления степенной функции и, традиционно выделяемые в школьной математике корни степени n. Конкретные задания могут содержать УЭ не только одной функции, поэтому их суммарный процент превышает 100%.

В таблицах частотности по вариантам (см. таблицу 2): в строках содержатся описания УЭ школьной программы, а в столбцах – частотность использования данного УЭ в анализируемом варианте теста. При этом:

· Любая переменная, любое число в первой степени не учитывается как степенная функция.

· Любой УЭ одного задания учитывается только один раз.

Таблица 2.

Централизованное тестирование 2000 год (20 заданий) %

(Демонстрационный вариант. Только степенная и логарифмическая функции)

· Если в задании проверяется владение каким-либо свойством функции, то фиксируется и свойство функции, и наличие этой функции.

· При композициях типа: cos2a= cos²a-sin²a, учитывается как наличие тригонометрической, так и степенной функции.

· При решении уравнений, например log₂(x+1)=4; → 2⁴=x+1, учитывается и наличие степенной функции.

При этом пренебрегается неоднозначностью, которая связанна с тем, что уравнение такого типа можно решать, используя теорему Виета.

Далее, на пересечении строчки и столбца ставится единица, если учебный элемент используется в данном тестовом задании хотя бы один раз. Если данный УЭ используется в задании неоднократно, то и в этом случае на пересечении строчки и столбца ставится единица[3]. Отсутствие единицы в ячейке означает отсутствие использования данного УЭ в задании.

Сумма единиц по строкам определяет число использования данного УЭ в конкретном варианте. Отношение этого числа к общему числу заданий в варианте, выраженная в процентах, характеризует частотность использования данного УЭ в исследуемом варианте теста.

Определенная сложность в проведении анализа заключается в возможности решения тестового задания несколькими способами, вызывая тем самым неоднозначность в фиксации количества используемых учебных элементов. Предпочтение в этом случае отдается решению задания с меньшим числом действий, которые приводят к правильному ответу.

Представляя результаты частотного анализа тестов, следует сказать, что их репрезентативность дифференцирована количеством рассмотренных вариантов. Наиболее полно представлены тесты ЦТ, а тесты ЕГЭ 2002 и 2003 представлены только демонстрационными вариантами, что существенно ограничивает представительность полученных результатов.

Не забывая выше сказанное, опишем полученные результаты:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: