Динамические игры с совершенной информацией

Теория игр

Существует несколько типов игр в экономике

Статические с полной информацией

Динамические с полной информацией

Статические с неполной информацией

Динамические с неполной информацией

Игры с полной информацией

Игроки принимают решения (делают выбор стратегии) независимо друг от друга и одновременно. Функции выигрышей всех игроков известны (всем игрокам). Игру можно представить в нормальной и экстенсивной форме. Нормальная форма игры определяет игроков, стратегии доступные любому игроку, выигрыши каждого игрока для каждой комбинации стратегий, которая может быть выбрана всеми игроками.

Пусть в игре участвует n игроков, S_i – множество всех стратегий доступных i-му игроку. s_i ∈S_i – элемент множества стратегий, (s₁, s₂, …, s_n) – комбинация стратегий, U_i (s₁, s₂, …, s_n) – функция выигрыша игрока i.

Нормальная форма игры с n игроками определяет множество стратегий всех игроков S₁, S₂, …, S_n и функции выигрыша для каждого игрока U₁, U₂, …, U_n.

G = {S₁, S₂, …, S_n, U₁, U₂, …, U_n}

Рассмотрим игру с n игроками в нормальной форме. Пусть s_i’, s_i’’ ∈ S_i – достижимые стратегии для игрока i.

Стратегия s_i’ строго доминируется стратегией s_i’’ если, для любых комбинаций стратегий других игроков, выигрыш игрока i, если он играет стратегию s_i’, строго меньше, чем если бы он играл стратегию s_i’’.

Ui(s₁, s₂, …, s_i-1, s_i’, s_i+1, …, s_n) < Ui(s₁, s₂, …, s_i-1, s_i’’, s_i+1, …, s_n) Для любых (s₁, s₂, …, s_i-1, s_i+1, …, s_n)

Дилемма заключенного

Равновесие Нэша

Рассмотрим игру в нормальной форме G = {S₁, S₂, …, S_n, U₁, U₂, …, U_n}

Стратегии (s₁*, s₂*, … , s_n*) образуют равновесия Нэша, если для любого игрока i, стратегия s_i*это наилучший ответ игрока i (обозначается best response) на стратегии (s₁*, s₂*, …, s_i-1*, s_i+1*, …, s_n*) остальных (n-1) игроков.

Ui(s_i*, s_-i*) ≥ Ui(s_i, s_-i*) для любой достижимой стратегии s_i игрока i.

Т.е. решение оптимизационной задачи

Утверждение 1. Рассмотрим игру для n игроков в нормальной форме. Представим, что в игре путем исключения доминируемых стратегий, мы исключили все стратегии кроме (s₁*, s₂*, … , s_n*). Тогда эти стратегии являются единственным равновесием Нэша в данной игре.

Утверждение 2. Рассмотрим игру в нормальной форме с n игроками. Если стратегии (s₁*, s₂*, … , s_n*) являются равновесием Нэша, то они «выживут» при исключении доминируемых стратегий (но решения таким путем может и не существовать).

Дуополия курно

i=1,2.

Q=q₁+q₂ (объем)

P(Q)=a-Q (цена)

c_i(q_i)=cq_i (общие издержки фирмы i на продукцию

Предельные издержки постоянны (чем больше производим, тем больше нам требуется).

Нормальная форма игры. Стратегия S_i = [0;+∞) выпустить продукцию от 0 до +∞. U_i=П_i.

G = { S_i = [0;+∞), U_i=П_i} i=1,2.

S_i=q_i (стратегия это то количество продукции, которое нужно произвести)

Для любого i будет равновесием Нэша, тогда и только тогда, когда

т.е. и

У нас

Решаем максимизационную задачу

Для 1 фирмы

BR₁(q₂)

Для 2 фирмы

BR₂(q₁)

Парламентское голосование

Парламент разделен на три фракции (б. з. к.). Каждая из фракций может проголосовать за или против.

G=<I={б,з,к}, S_i={за, против}, U_i>

Решение принимаются большинством голосов. Б – не хотят законопроект. З, К хотят законопроект.

Если закон пройдет, то з,к получат 1, если не пройдет, то все получат 0.

Б. За

Против

U1(За)=(-1,-1,-1,0)

U1(Против)=(-1,0,0,0)

U1(Против) доминирует U1(За). Смотрим стратегию против. Видим. Что равновесия Нэша это стратегия (против, за, за).

7. Аукцион Викри

Некий предмет продается на аукционе. I=1..K+1 участник (Kигроков назвали такую же цену и сам участник). Цена по заявке p_i. Побеждает участник, предложивший самую высокую цену по порядку убывания. Если i участок окажется победителем, то его выигрыш составит v_i-p_i , где v_i ценность для него данного предмета. Выигрыш всех остальных 0. P_i=v_i – доминирующая «правдивая» стратегия.

Pmax=max{p_-i} – максимальная из всех цен, названных остальными.

Трагедия общин

· N фермеров в деревне

· Каждое лето все пасут своих коз на общих пастбищах

· g_i – количество коз i фермера.

_· G = g₁ + g₂ + … + g_n

· C – издержки на содержание козы

· V(G) – ценность того, что одна коза пасется на пастбище с остальными козами

· Существует Gmax – максимальное количество коз, которые пасутся на пастбище

· Идея: когда на пастбище мало коз, то выпас еще одной дополнительной козы мало повредит остальным, но когда коз итак много, то дополнительная коза сильно вредит.

· Весной все фермеры решают сколько коз им содержать

· Козы бесконечно делимы (функция непрерывна)

· Стратегия фермера : выбрать g_i ∈ G

· Выигрыш фермера i:

Если – равновесие Нэша, то для любого i, g_i должно давать максимальный выигрыш при условии, что все остальные выбрали g-_i*. Решаем задачу максимизации.

FOC

N уравнений для каждого фермера. Складываем все эти уравнения.

равновесие Нэша для одного фермера. (1)

Общественный оптимум (G**).

FOC v(G**) + G**v’(G**) - c=0 (2)

Сравнивая (1) и (2) получаем G* > G **. Если фермер принимает во внимание только свой личный выигрыш, то общественное благо перерасходуется.

Теорема Нэша

Равновесие Нэша в смешанных стратегиях

a<b

a<c

DSNE в чистых стратегиях

MSNE в смешанных стратегиях

Определение Рассмотрим игру в нормальной форме G=<I; S1; Sn; u1 ….,Un> и предположим что si={si1,…Sik} тогда назовем смешанной стратегией игрока i-распределение вероятностей pi =(pi1…pik),где 0<=pik<=1 k=1..k pik

Замечание о строго доминируемых и смешанных стратегиях

Если Si строго доминируема,у I игрока не существует таких вероятностей >0 , чтобы было оптимально играть стратегию .

Теорема Нэша 1950

Равновесие N в смешанных стратегиях существуют в любой конечной игре.

Если n –конечное число игроков ,а также Si- множество стратегий с конечным числом элементов, то равновесие по Нэшу существует (возможно в смешанных стратегиях).

Утверждение (характеристика равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях для конечной игры)

Смешанная стратегия p* является равновесной по Нэшу тогда и только тогда ,когда для каждого игрока I:

1)ожидаемый выйгрыш (для фиксированных pi* )для всех стратегий которым pi* приписывает положительные вероятности одинаковые

2)ожидаемы выйгрыш для каждой стратегии которой Pi* приписывает положитительные вероятности больше ожидаемого выигрышу любой стратегии .которой приписывает нулевые вероятности.

Динамические игры с совершенной информацией

Динамические игры с совершенной информацией

Динамические игры с полной информацией игроки знают функции выигрыша друг друга на каждом ходу каждый игрок знает всю историю игры до этого хода.

1)игрок 1 выбирает действие A1 из набора допстимых действий

2)игрок 2 наблюдает A1 и выбирает действие A2 из доступного ему набора действия

3)игрок 3 получает выйгрыш u1 (a1, a2) и u2 (a1, a2).

Метод стратной индукции индукции

А)игрок 2 на 2ом шаге (зная А1)имеет единственное решение R2(a1)-функция наилучшего ответа 2ого игрока на ход первого.

Б)игрок 1 тоже может решить тоесть они знают что предпримет игрок 2.

Дуополия штакельберга

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: