Приложение дифференциала к приближенным вычислениям
Приближенное значение приращения функции
При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Dy » dy и, следовательно,
Dy » . (3.3)
Пример 2. Найти приближенное значение приращения функции y= при изменении аргумента x от значения x0=3 до x1=3,01.
Решение. Воспользуемся формулой (2.3). Для этого вычислим
= x1- x0= 3,01 - 3 = 0,01, тогда
Dу » .
Приближенное значение функции в точке
В соответствии с определением приращения функции y = f(x) в точке x0 при приращении аргумента Dx (Dx®0) Dy = f(x0 + Dx) - f(x0) и формулой (3.3) можно записать
f(x0 + Dx) » f(x0) + . (3.4)
Частными случаями формулы (3.4) являются выражения:
(1 + Dx)n» 1 + nDx (3.4a)
ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)
sinDx » Dx (3.4в)
tgDx » Dx (3.4г)
Здесь, как и ранее предполагается, что Dx®0.
Пример 3. Найти приближенное значение функции f(x) = (3x -5)5в точке x1=2,02.
Решение. Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Представим x1 в виде x1 = x0 + Dx. Тогда x0 = 2, Dx = 0,02.
f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +
f(2) = (3 × 2 - 5)5= 1
= 15 × (3 × 2 - 5)4= 15
f(2,02) = (3 × 2,02 - 5)5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3
Пример 4. Вычислить (1,01)5, , ln(1,02), ln .
Решение
1. Воспользуемся формулой (3.4а). Для этого представим (1,01)5в виде (1+0,01)5.
Тогда, полагая Dх = 0,01, n = 5, получим
(1,01)5= (1 + 0,01)5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.
2. Представив в виде (1 - 0,006)1/6, согласно (3.4а), получим
(1 - 0,006)1/6 » 1 + .
3. Учитывая, что ln(1,02) = ln(1 + 0,02) и полагая Dx=0,02, по формуле (3.4б) получим
ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.
4. Аналогично
ln = ln(1 - 0,05)1/5= .
Найти приближенные значения приращения функций
155. y = 2x3+ 5 при изменении аргумента x от значения x0 = 2 до x1 = 2,001
156. у = 3x2+ 5x + 1 при x0 = 3 и Dx = 0,001
157. y = x3 + x - 1 при x0 = 2 и Dx = 0,01
158. y = ln x при x0 = 10 и Dx = 0,01
159. y = x2 - 2x при x0 = 3 и Dx = 0,01
Найти приближенные значения функций
160. у = 2x2- x + 1 в точке x1 = 2,01
161. y = x2+ 3x + 1 в точке x1 = 3,02
162. y = в точке x1 = 1,1
163. y= в точке x1 = 3,032
164. y = в точке x1 = 3,97
165. y = sin 2x в точке x1 = 0,015
Вычислить приближенно
166. (1,025)10 167. (9,06)2 168.(1,012)3
169. (9,95)3 170. (1,005)10 171. (0,975)4
172. 173. 174.
175. 176. 177.
178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05)5 180. ln
181. ln0,98 182. ln 183. ln(e2×0,97)
Исследование функций и построение графиков
Признаки монотонности функции
Теорема 1 (необходимое условие возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая функция y = f(x), xÎ(a; b) возрастает (убывает) на интервале (a; b), то для любого x0Î(a; b).
Теорема 2 (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если функция y = f(x), xÎ(a; b) имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Экстремумы функции
Определение 1. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех x из некоторой d-окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) при x ¹ x0.
Теорема 3 (Ферма) (необходимое условие существования экстремума). Если точка x0 является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная , то
Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки x0. Тогда:
1) если производная при переходе через точку x0 меняет знак с (+) на (-), то x0 является точкой максимума;
2) если производная при переходе через точку x0 меняет знак с (-) на (+), то x0 является точкой минимума;
3) если производная при переходе через точку x0 не меняет знак, то в точке x0 функция не имеет экстремума.
Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода.
Алгоритм нахождения экстремума функции
с помощью первой производной
1. Найти область определения D(f) функции у = f(x).
2. Вычислить первую производную
3. Найти критические точки первого рода.
4. Расставить критические точки в области определения D(f) функции y = f(x) и определить знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции.
5. Выделить точки максимума и минимума функции и вычислить в этих точках значения функции.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию у = x3- 3x2.
Решение. В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью первой производной имеем:
1. D(f): xÎ(-¥; ¥).
2. .
3. 3x2- 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критические точки первого рода.
4.
max min
+ - +
0 2 х
Производная при переходе чрез точку x = 0
меняет знак с (+) на (-), следовательно это точка
максимума. При переходе через точку х = 2 меняет знак с (-) на (+), следовательно это точка минимума.
5. ymax= f(0) = 03 × 3 × 02 = 0.
Координаты максимума (0; 0).
ymin= f(2) = 23 - 3 × 22= -4.
Координаты минимума (2; -4).
Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума). Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, причем , то в точке x0 функция f(x) имеет максимум, если и минимум, если .
Алгоритм нахождения экстремума функции
с помощью второй производной
1. Найти область определения D(f) функции y = f(x).
2. Вычислить первую производную
3. Найти критические точки первого рода.
4. Вычислить вторую производную .
5. Определить знак второй производной в каждой из критических точек.
6. Вычислить максимальное и минимальное значение функций.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию
f(x) = x3- 9x2+ 24x - 12.
Решение. В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью второй производной, имеем:
1. D(f): xÎ(-¥; ¥).
2. .
3. 3x2 - 18x + 24 = 0 Þ x = 2, x = 4 - критические точки первого рода.
4. 6x - 18.
5. 6 × 2 - 18 = -6 < 0 Þ x = 2 – точка максимума.
6 × 4 - 18 = 6 > 0 Þ x = 4 - точка минимума.
6. ymax= f(x = 2) = 23- 9 × 22+ 24 × 2 - 12 = 8
max(2; 8).
ymin= f(x = 4) = 43- 9 × 42+ 24 × 4 - 12 = 4
min(4; 4).
С помощью первой производной исследовать
на экстремум функции:
184. f(x) = x2– x 185. f(x) = -x2- x
186. f(x) = x2– 8x + 12 187. f(x) = x2– 4x + 3
188. f(x) = 2x4- x 189. f(x) =
190. f(x) = 5 - 2 191. f(x) = 3
192. f(x) = ex+ e-x 193. f(x) = x2 e-x
194. f(x) = x - 2 ln x 195. f(x) = x ln x
196. f(x) = 197. f(x) =
С помощью второй производной исследовать
на экстремум функции:
198. f(x) = 2x2- 3 199. f(x) = x2- 2x
200. f(x) = -x2+ 4x 201. f(x) = -x2+ x + 6
202. f(x) = 203. f(x) =
204. f(x) = x4+ 3x2- 4 205. f(x) = x3 -
206. f(x) = 207. f(x) = x +
208. f(x) = 209. f(x) =
210. f(x) = x (ln x - 2) 211. f(x) = x ln2x + x + 4
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|