Понятие дифференциала функции

Глава III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Производная функции

1. Понятие производной функции

Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , когда стремится к нулю при условии, что этот предел существует, т.е.

.

Для производной функции у = f(x) употребляются следующие обозначения: или

Определение 2. Геометрический смысл производной функции f(x) в точке х₀ заключается в том, что она численно равна тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к положительному направлению оси Ох, проведенной к графику функции в этой точке.

Определение 3. Физический смысл производнойфункции f(x) в точке х₀заключается в том, что она численно равна скорости изменения функции в данной точке.

Правила дифференцирования

1. = 0, С - постоянная.

2. (CU)′^׳= СU^′, C − постоянная.

3. (U±V .

4. UV .

5. , V¹0.

6. Производная сложной функции у = f[u(x)] равна произведению ее производной по промежуточному аргументу u(x) на производную этого аргумента по независимой переменной x:

или .

Формулы дифференцирования

Простые функции Сложные функции

=ax^a-1

e^x

= cos x = cos u×

= -sin x

=

=

Пример 1. Вычислить производные функций:

1. f(x) = 5 + x³+ 3x²+ ;

2. f(x) = x∙sin x;

3. f(x)= .

Решение. Для вычисления производных воспользуемся правилами и формулами дифференцирования.

1. +

+ = 3x²+ 6x + .

2. .

3. = =

= .

Пример 2. Вычислить производные функций:

1. f(x) = ln(1+x²); 2. f(x) = .

Решение. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

1. ;

2.

= .

Вычислить производные функций

1. у = x⁴+ 3x²- 2x + 1 2. y = 7x⁷+ 3x²- 4x + 1

3. y = -3x^-2 4. y =

5. y = 2 6. y =

7. y = 8. y =

9. y = 10. y = 5 ln x - 7 cos x + tg x

11. y = 12. y =

13. y = 14. у =

15. y = x cos x 16. y = x²tg x

17. y = 18. y =

19. y = 20. y =

21. y = 22. y =

23. y = 24. y = e^x× 3^x

25. y = 26. y =

27. y = 28. y =

29. y = 30. y =

31. y = cos²x 32. y = sin²2x

33. y = sin(x²+ 5x + 2) 34. y = cos

35. y = tg (x² + 3) 36. y =

37. y = ln sin x 38. y = ln tg 5x

39. y = ln cos x 40. y = ln (1 + cos x)

41. y = ln (x²+ 2x) 42. y = ln (x² - 3x + 7)

43. y = cos(ln x) 44. y = sin(ln x)

45. y = cos(cos x) 46. y = sin(cos x)

47. y = sin(e^x) 48. y = cos(e^2x)

49. y = 50. y = ln

51. y = ln ln 52. y = ln

53. y = sin²x³ 54. y = cos³

55. y = 56. y = sin(2^x)

57. y = 58. y = ln

59. y = e^{cos x} 60. y = e^{sin x}

61. y = e^1/x 62. y =

63. y = a^{sin x} 64. y =

65. y = 66. y =

67. y = 68. y =

69. y = 2 ^{-sin 2x} 70. y = x^x

71. y = x^{sin x} 72. y = x^1/x

73. y = x^{cos x} 74. y = (tg x)^{sin x}

4. Производная неявной функции

Определение 2. Если функция у = f(x), определенная на некотором интервале (а; b), такова, что уравнение F(x; y) = 0 при подстановке в него у = f(x) обращается в тождество относительно х, то функция y = f(x) называется неявно заданной уравнением F(x; y) = 0.

Чтобы найти производную неявной функции у по аргументу х, заданной уравнением F(x; y)=0, необходимо продифференцировать левую и правую части этого уравнения, считая у функцией от х . Из полученного линейного уравнения находим искомую производную .

Пример 3. Вычислить производную неявной функции.

x²+ x²y + y²x + y²+ 3 = 0.

Решение

2x + 2xy + x²× - 2y = 0

Вычислить производные неявных функций

75. x³+ y³- 3xy = 0 76. x²+ y²= 4

77. x⁴- 6x²y²+ 9y⁴= 100 78. Ax²+ 2Bxy + Cy²= F

79. x sin y + y sin x = 0 80. e^x + e^y- 2xy - 1 = 0

81. 82. x² sin y + y²cos x = 0

83. 84. е^у/х- e^x/y= 1

85. x^y + y^x= 0 86. + y²ln x = 4

Производные высших порядков

Определение 3. Производная называется производной первого порядка.

Производная от называется производной второго порядка или второй производной от функции f(x) и обозначается , ,

или .

Производная от называется производной третьего порядка или третьей производной от функции f(x) и обозначается , ,

или и т.д.

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. .

Пример 4. Найти производную второго порядка от функции

у= .

Решение

Найти производные второго порядка от функций:

87. у = tg x 88. y = ctg x

89. y = sin²x 90. y = cos²x

91. y = 92. y = ln (2x-3)

93. y = x sin x 94. y =

95. y = 2^x 96. y = e^1/x

97. y = x² ln x 98. y = a^x x³

99. 100. y = ln

Правило Лопиталя

Устранение неопределенностей вида ,

Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀ за исключением, быть может самой точки x₀, причем, в этой окрестности и, если = = 0 или = = ¥ , то

,

если последний предел существует.

Иными словами, для неопределенностей вида или предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Здесь x₀ может быть числом, + , либо -¥.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее устранения воспользуемся правилом Лопиталя

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя трижды правило Лопиталя, получим

.

Вычислить пределы

101. 102.

103. 104.

105. 106.

107. 108.

109. 110.

111. 112.

113. 114. , a >1

115. 116.

117. 118.

119. 120.

121. 122.

7. Неопределенности вида 0 × ¥, 0⁰, 1^¥, ¥⁰и их устранение

Определение 1. Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy:

dy = . (3.1)

Принимая во внимание, что , окончательно получим

dy = . (3.2)

Пример1. Найти дифференциал функции у = x cos 3x.

Решение. Согласно определению дифференциала функции имеем

dy = (cos 3x - 3x sin3x) dx.

Найти дифференциалы функций

143. y = x (x - 3) 144.

145. y = 146. y =

147. y = 148. y =

149. y = 150. y = e^{sin x}

151. y = ln cos x 152. y = x ln x

153. y = 154. y =

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: