Сделай Сам Свою Работу на 5

Исчисление высказываний. Законы эквивалентных преобразований формул.

Вопросы по математической логике

(4-й семестр)

1. Исчисление высказываний (ИВ). Основные понятия.

2. Исчисление высказываний. Алгебра высказываний. Основные логические операции.

3. Исчисление высказываний. Правила записи сложных суждений.

4. Исчисление высказываний. Законы эквивалентных преобразований формул.

5. Исчисление высказываний (ИВ). Проблемы разрешимости формул. Таблицы истинности.

6. Исчисление высказываний. Метод дедуктивного вывода. Modus ponens.

7. Исчисление высказываний. Метод дедуктивного вывода. Modus tollens.

8. Исчисление высказываний. Основные аксиомы вывода.

9. Исчисление высказываний. Принцип резолюции.

10. Исчисление высказываний. Расширение принципа резолюции (линейность и упорядоченность литер в дизъюнкте).

11. Исчисление предикатов. Основные понятия.

12. Исчисление предикатов. Алгебра предикатов. Основные логические операции.

13. Исчисление предикатов. Правила записи сложных суждений.

14. Исчисление предикатов. Законы эквивалентных преобразований.

15. Исчисление предикатов. Пренексная нормальная форма (ПНФ) формулы.

16. Исчисление предикатов. Сколемовская стандартная форма формулы.

17. Исчисление предикатов. Основные аксиомы вывода.

18. Исчисление предикатов. Принцип резолюции.

19. Исчисление предикатов. Расширение принципа резолюции (линейность и упорядоченность литер в дизъюнкте).

20. Исчисление предикатов. Подстановка и унификация.

21. Исчисление нечётких множеств. Основные понятия. Алгебра нечётких множеств.

22. Исчисление нечётких отношений. Основные понятия. Алгебра нечётких отношений.

23. Логика нечётких высказываний. Основные понятия.

24. Выбор решения при нечётком выводе заключения.

25. Реляционная логика. Основные понятия.

26. Реляционная алгебра. Основные и дополнительные унарные операторы.

27. Реляционная алгебра. Основные бинарные операторы.

28. Реляционная алгебра. Дополнительные бинарные операторы.

29. Реляционное исчисление (РИ) с переменными-кортежами.

30. Реляционное исчисление (РИ) на доменах.



31. Грамматика формального языка БНФ.

32. Формальные грамматики типа 0 и 1. Вывод цепочек терминальных символов.

33. Формальные грамматики типа 2 и 3. Вывод цепочек терминальных символов.

34. Цепочки символов формального языка. Система составляющих.

35. Синтаксическое дерево и алгоритм его обхода “сверху-вниз”.

36. Синтаксическое дерево и алгоритм его обхода “снизу-вверх”.

37. Двоичное дерево. Матрица связей и таблица подстановок.

38. Двоичное дерево. Грамматический разбор цепочки терминальных символов “сверху-вниз”.

39. Двоичное дерево. Грамматический разбор цепочки терминальных символов “снизу-вверх”.

40. Операции над языками.

Исчисление высказываний (ИВ). Основные понятия.

Высказывания - предложения естественного языка, в которых содержится информация о предмете, факте, явлении, событии или процессе, и которые могут быть оценены как истинные или ложные (напр. повествовательные предложения). Пример: “Колумб открыл Америку” – истина; “Киев – столица Узбекистана” - ложь. Иногда истинность/ложность высказывания зависит от контекста.

В ИВ абстрагируются от состава и структуры предложения, а также от его конкретного содержания, опираясь лишь на его значение истины или лжи. Для этого в текст вместо высказываний вводят пропозициональные переменные (propositio (лат.) – предложение) (обозн. A, B, C, …). Текст представляет собой последовательную цепочку пропозициональных переменных, связанных между собой системой дополнительных символов.

Пропозициональные переменные используют, как в математике числовые переменные x, y, z, … В математике вместо числовых переменных можно подставить конкретные числа, а в ИВ вместо пропозициональной переменной можно подставить значение, которое принимает высказывание в конкретном предложении (True/False).

Соединение простых повествовательных предложений с помощью союзных слов (доп. символов) формирует сложное суждение. Для обозначения союзных слов в ИВ используют логические связки, а для построения грамматически правильного предложения – вспомогательные символы – скобки. Система правил построения сложных высказываний как последовательности записи пропозициональных переменных, лог. связок и вспомогательных символов определяют возможность формальной записи правильно построенных формул.

Система правил преобразования сложных высказываний – алгебра высказываний.

Система правил вывода новых высказываний на базе множества имеющихся высказываний, основанная на задании множества отношений между правильно построенными формулами определяет ИВ.

Т. о. ИВ – логико-математическая модель, обеспечивающая формальное рассуждение на множестве правильно построенных формул и отношений между ними, отвлекаясь от внутренней структуры элементарного высказывания.

Посылки – высказывания, из которых делают вывод нового высказывания. Заключение – полученное высказывание.

Исчисление высказываний. Алгебра высказываний. Основные логические операции.

Пусть дан алфавит:

T = T1 È T2 È T3, где

T1 = {A; B; C; …} – пропозициональные переменные;

T2 = {ù, &, Ú, ®, «} – лог. связки;

T3 = {;; (; )} – вспомогательные символы.

Формула – последовательность символов алфавита T. Правильно построенные формулы (ППФ) задаются системой правил:

1) пропозициональная переменная есть формула, т. е. Fi = A;

2) если F1 и F2 – формулы, то (ùF1); (ùF2); (F1 & F2); (F1 Ú F2); (F1 ® F2) и (F1 « F2) также формулы;

3) никаких других формул нет.

Лог. связка, используемая при формировании ППФ, определяет исполнение лог. операции.

Отрицание (ùF) – одноместная операция, посредством которой из данной формулы получают её отрицание. Истинно т. и только т., когда F ложно. Ест. яз.: “неверно, что …”.

Конъюнкция (F1 & F2) – двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F, отражающую сложное высказывание. Истинно т. и только т., когда истинны F1 и F2. Ест. яз.: “… и …”, “… а …”, “… но …”, “… также …”, “… хотя …”, “… несмотря на …”, “… вместе с …” и т. п.

Дизъюнкция (F1 Ú F2) – двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F, отражающую сложное высказывание. Истинно т. и только т., когда хотя бы одна из формул F1 или F2 была истинной. Ест. яз.: “… или …”, “… либо …” и т. п.

Импликация (F1 ® F2) – двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F, отражающую сложное высказывание. Ложно т. и только т., когда F1 истинно, а F2 ложно. Ест. яз.: “если …, то …”, “тогда …, когда …”, “постольку …, поскольку …”, “при наличии …, следует …”, “в случае …, следует …”, “… влечёт …”, “… есть достаточное условие для …”, “…есть необходимое условие для …”, “… при условии, что …” и т. п.

Эквиваленция (F1 « F2) – двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F, отражающую сложное высказывание. Истинно т. и только т., когда формулы F1 и F2 имеют одинаковые значения. Ест. яз.: “для того чтобы …, необходимо и достаточно, чтобы …”, “… лишь при условии, что …”, “… в том и только в том случае, когда …” и т. п.

Исчисление высказываний. Правила записи сложных суждений.

При записи сложных суждений следует обратить внимание, что в формулах нет 2-х рядом стоящих логических связок, они должны быть разделены вспомогательными символами – скобками, нет 2-х рядом стоящих формул, они должны быть разъединены логической связкой.

Если принять значимость и силу логических связок в следующем порядке: ù; &; Ú; ®; «, то можно опускать те пары скобок, без которых ясен порядок исполнения логических операций:

1) каждое вхождение лог. связки ù относится к пропозициональной переменной или формуле, следующей непосредственно за логической связкой слева;

2) каждое вхождение лог. связки & после расстановки скобок, относящихся к лог. связке ù, связывает пропозициональные переменные или формулы, непосредственно окружающие лог. связку;

3) каждое вхождение лог. связки Ú после расстановки скобок, относящихся к лог. связке &, связывает пропозициональные переменные или формулы, непосредственно окружающие лог. связку и т. д.

При использовании этих правил к одной и той же лог. связке скобки следует расставлять постепенно, продвигаясь слева направо.

В зависимости от знаний и навыков можно опускать многие скобки.

Исчисление высказываний. Законы эквивалентных преобразований формул.

Fi = Fj означает, что формула (Fi « Fj) = true при любых значениях подформул при пропозициональных переменных, включаемых в Fi и Fj. Тождественная истинность формулы (Fi « Fj) определяет множество законов эквивалентных преобразований алгебры высказываний, часть из которых приведена ниже:

коммутативность
(F1 Ú F2) = (F1 Ú F2); (F1 & F2) = (F1 & F2)

ассоциативность F1 Ú (F2 Ú F3) = (F1 Ú F2) Ú F3; F1 & (F2 & F3) = (F1 & F2) & F3;

дистрибутивность F1 Ú (F2 & F3) = (F1 Ú F2) & (F1 Ú F3); F1 & (F2 Ú F3) = (F1 & F2) Ú (F1 & F3);

идемпотентность F Ú F = F; F & F = F;

противоречия F Ú ùF = true; F & ùF = false;

де Моргана

ù(F1 Ú F2) = ùF1 & ùF2; ù(F1 & F2) = ùF1 Ú ùF2;

поглощения F1 Ú (F1 & F2) = F1; F1 & (F1 Ú F2) = F1;

дополнения ù(ùF) = F;

свойства констант F Ú false = F; F & false = false;
F Ú true = true; F & true = f;
ùtrue = false; ùfalse = true.

Если формула сложного высказывания F содержит подформулу Fi, то замена подформулы Fi всюду в формуле F на эквивалентную ей формулу Fj не изменяет значения формулы F при любом наборе пропозициональных переменных.

Если необходима подстановка в формулу F вместо какого-либо символа формулы или пропозициональной переменной Fi новой формулы Fj, то эта операция должна быть выполнена всюду в формуле F по символу Fi.

Правила замены и подстановки расширяют возможности эквивалентных преобразований формул сложных высказываний.



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.