Сделай Сам Свою Работу на 5

Понятие оценок параметров





 

Для увеличения точности измерений, при наличии случайных погрешностей, следует производить не однократное наблюдение измеряемой величины, а многократное. Принято называть значение величины, полученное при отдельном наблюдении, результатом наблюдения, а среднее арифметическое группы результатов наблюдений – результатом измерения. При наличии систематических погрешностей Dсист необходимо в результаты наблюдений предварительно ввести поправки. Для этого от измеренных значений Хiизм надо перейти к исправленным значениям Хiиспрiизм-Dсист. (Как известно из теории вероятностей, этот переход всегда целесообразно выполнять потому, что либо 1) для исправленных значений при заданном доверительном интервале D1,2 величина доверительной РД вероятности выше, чем для неисправленных значений, мат. ожидание которых смещено относительно истинного значения ХД на величину систематической погрешности Dсист; либо 2) при заданной доверительной вероятности РД доверительный интервал D1,2для исправленных значений будет меньше, чем для неисправленных значений.)

В последующих расчетах будем полагать, что систематические погрешности исключены Dсист=0. В этом случае результат измерений Х равен среднему арифметическому для n значений отдельных наблюдений: (4.1)



где n-число измерений ; Х i – результат i –го наблюдения.

Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет тем выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений. Рассеивание результатов наблюдений характеризуется величиной s - средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений. При ограниченном числе наблюдений определить точное значение СКО невозможно. Наилучшее приближение к СКО (s) называется оценкой СКО ( ). Если известно действительное значение измеряемой величины ХД, то оценка СКО результатов наблюдений находится по формуле (4.2)

где

При неизвестном ХД вместо действительного значения измеряемой величины ХД используется среднеарифметическое значение и тогда оценка определяется по формуле

(4.3)

Здесь - случайное отклонение результата наблюдений от среднеарифметического значения

(4.4)



Иногда называют остаточной погрешностью.

Аналогично можно охарактеризовать рассеивание результатов измерений. С этой целью вводится параметр , называемый оценкой СКОрезультатов измерения. Введение этой оценки обусловлено тем, что практически мы вычисляем оценку СКО и среднее значение на основе конечного числа результатов измерений. Оно отличается от истинного, действительного значения ХД , (за которое, при отсутствии систематической погрешности, принимается мат. ожидание при n®¥), на величину ,которая также является случайной величиной и может меняться при добавлении следующих результатов измерений ( n+1 ), (n+2)…( n+k ) –го. Добавление этих данных гораздо меньше изменяет и при n®¥ l®0, а стремится к мат ожиданию.

Если случайные погрешности отдельных результатов измерения подчиняются НЗР , то и погрешности средних значений их повторных рядов также подчиняются НЗР , но уже с другим рассеиванием (дисперсией). Рассеивание средних значений меньше, чем рассеивание результатов отдельных измерений.

Оценки СКО результатов измерений и наблюдений связаны соотношением (4.5)

Таким образом, СКО результатов измерений с ростом числа наблюдений в группе уменьшается в раз (рис. 4.1) . Например, при 9 наблюдениях СКО результата измерений будет втрое меньше, чем при однократном наблюдении. Поэтому при точных измерениях обычно производятся многократные наблюдения.

Оценка лишь косвенно характеризует погрешность результата измерений. Однако связь между и погрешностью не однозначная и зависит от числа наблюдений n(Рис. 4.1) , а так же от функции распределения случайных погрешностей. Более наглядной и информативной характеристикой погрешности является значение ее доверительных границ.



Доверительные границы случайной погрешности результата измерений

D1,2-это границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью РД случайную погрешность измерения .

 

 
 

Рис. 4.1. К понятию точечных и интервальных оценок

 

 

При НЗР случайных погрешностей доверительные границы связаны с оценкой СКО результата измерений соотношением:

D1,2= ± t (4.6)

где t- коэффициент Стьюдента, который зависит от двух параметров: числа наблюдений n в группе выбранной доверительной вероятности РД . Рекомендуется вероятность РДпринимать равной 0.95, а в особо ответственных случаях РД= 0.99 и выше.

Рассмотренные выше оценки результата измерения, выражаемые одним числом, называются точечными оценками. Например: ХД= или (4.7)

Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку она указывает на границы интервала, в котором может находиться значение ХД , но ничего не говорит о вероятности попадания ХД в этот интервал. Точечная оценка позволяет сделать лишь некоторые выводы о точности проведенных измерений.

При интервальной оценке определяется доверительный интервал ±D1,2, между границами которого с определенной вероятностью РД находится истинное значение оцениваемого параметра ( например, действительное значениеХД ). Задавшись значением доверительной вероятности РДпри НЗР и n®¥ определяют интервал (в долях s )

D1,2 =ks (4.8)

 

Полезно помнить следующие значения k для НЗР для различных значений РД (табл.4.1) для n®¥

Таблица 4.1

Значения k для НЗР для различных значений РД для n®¥

 

РД 0.5 0.68 0.95 0.98 0.99 0.997
k 0.667 2.33 2.58

 

Если число измерений ограничено (n¹¥) , то значение СКО s заменяется его оценкой , определяемой по формуле (4.3). При малом числе измерений n значения доверительного интервала ± D1,2 =±ks корректируются с помощью распределения Стьюдента по формуле

±D1,2 =±t (4.9)

Как видно из табл. 4.2 , границы доверительного интервала расширяются по мере уменьшения числа наблюдений n.С ростом nкоэффициент Стьюдента t

стремится к своему теоретическому значению k (для n®¥) при заданной РД.

 

Таблица 4.2

 

Значения коэффициентов Стьюдента для РД= 0.95 и РД= 0.99

 

Число наблюдений n Значения коэффициента t при РД Число наблюдений n Значения коэффициента t при РД
0.95 0.99 0.95 0.99
12.71 63.7 2.18 3.06
4.30 9.92 2.16 3.01
3.18 5.84 2.14 2.98
2.77 4.60 2.13 2.95
2.57 4.03 2.12 2.92
2.45 3.71 2.11 2.90
2.36 3.50 2.10 2.88
2.31 3.36 2.09 2.86
2.26 3.25 2.06 2.80
      ¥ 1.98 2.58

 

Остановимся более подробно на понятии интервальных оценок.

Здесь необходимо понимать принципиальную разницу между доверительными интервалами, определенными по (4.6) и по (4.9) или (4.8), хотя эти формулы внешне почти одинаковы.

Смысл доверительного интервала ± D1,2 =±t , определенного по (4.9) для n¹¥ и стремящегося к ±D1,2 =±ksпри n®¥ , состоит в том , что с заданной вероятностью РД результат i-того наблюдения попадет в доверительный интервал ±D1,2,который с ростом n не меняется, так как ®s .

Смысл доверительного интервала D1,2 =t состоит в том, что результат измерения , за который принимается среднеарифметическое значение , попадет с заданной вероятностью РД в этот доверительный интервал, который с ростом n бесконечно сужается вокруг мат. ожидания , к которому стремится среднеарифметическое. Рассчитанный по формуле (4.6) интервал D1,2указывает лишь «коридор» колебаний при малом числе измерений n,который стремится к нулю при n®¥ , когда средне арифметическое стремится к мат. ожиданию, а ®0 и D1,2®0 (рис.4.1).

Запись результата измерения в виде

ХД= ±D1,2 (4.10) ,

 

где D1,2 =t ,означает, что итог измерения не есть одно определенное число. В результате измерения мы получаем лишь некую «полосу значений измеряемой величины с несколько расплывчатыми границами».

Суть описанной ситуации прекрасно передал П.М. Тиходеев в своей книге: « Очерки об исходных измерениях». М.: Машгиз, 1954. Он писал: «Смысл итога измерений , например L=20,00±0,05, заключается не в том, что L=20,00, как для простоты считают и как это чаще всего приходится с неизбежностью принимать для последующего применения и расчетов; смысл в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19,95 до 20,05 и вовсе необязательно, чтобы оно лежало в середине, а не где-нибудь с краю. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено , хотя и может быть очень маловероятным.»

 

Пример. Произведено четырехкратное измерение сопротивления катушки. Определить результат измерения и доверительную границу погрешности результата измерения при РД= 0.99 .

 

Таблица 4.3

 

Результат наблюдения Ом Отклонения результата Наблюдений, Ом   Квадраты отклонения результата наблюдений, Ом2  
100,078 -0.0008 64 * 10-8
100.0084 -0.0002 4 * 10-8
100.0087 +0.0001 1 * 10-8
100.0095 +0.0009 81 * 10-8

 

1. Определяем среднеарифметическое четырех наблюдений по формуле:

2. Находим случайные отклонения результатов наблюдений по формуле . Для самопроверки определяем сумму случайных отклонений. Она всегда должна равняться нулю.

3. Возводим случайные отклонения в квадрат и находим их сумму:

4. Находим оценку результата СКО по формуле (4.3). Получим:

5. Определяем оценку СКО результата измерения по формуле (4.5).

Получим:

6. По табл. 4.2 значений коэффициента Стьюдента для n= 4 и РД = 0.99 находим t=5.84

7. Определяем доверительные границы погрешности результата измерения по формуле ( 4.6). Получим : D1.2=±5.84 * 3.6*10-4 =±0.0021 Ом

Результат измерения запишется в виде:R=100.0086 ±0.0021 Ом при РД=0.99.

Если бы мы задались меньшей доверительной вероятностью, например РД=0.95, то получили бы несколько другой доверительный интервал. В этом бы случае найденный по табл. 4.2 коэффициент Стьюдента для n= 4 и РД = 0.95 был бы равен t=3.18 и доверительный интервал D1.2равнялся бы величине D1.2=±3.18 * 3.6*10-4 =±0.0011 Ом. Результат измерения запишется в виде:R=100.0086 ±0.0011 Ом при РД=0.95.

 

 

Промахи

Грубой погрешностью или промахом называется погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данный условиях.

Выявление промахов необходимо провести до !определения погрешностей измерений . Эта операция особенно целесообразна в том случае, если среди ряда измерений встречаются отдельные , резко отличные от других, значения.

Промахи возникают, как правило, из-за неверных действий оператора, но могут также явиться результатом неисправности используемых СИ. Во всех случаях промахи не являются характеристикой измерения, и для избежания значительных искажений результатов их необходимо отбросить.

Для объективного решения вопроса о том, является ли промахом какой-либо результат измерения, применяются специальные методы. Наибольшее распространение получили два из них: метод (критерий) 3s и табличный метод (критерий Грэббса).

В основу метода положено то обстоятельство, что при нормальном распределении случайных величин их рассеивание около среднего арифметического с вероятностью 0.997 не превосходит величины ±3s. Этот вывод следует непосредственно из рассмотрения НЗР . Иначе говоря, принято считать , что результаты , вероятность получения которых меньше 0.003 , могут появиться только как следствие грубых ошибок (промахов).Для обнаружения промахов по методу 3s необходимо выполнить следующие операции:

1. Подсчитать среднее арифметическое значение ряда измерений

2. Подсчитать оценку СКО

3. Найти по абсолютной величине разность А между предполагаемым промахом Хпр и средним арифметическим значений ряда измерений

А= | Хпр - |

4. Сравнить А с 3 . Если А<3 то величина Хпр не является промахом и ее следует оставить в ряду измерений. Если А>3 то величина Хпрс вероятностью 0.997 является промахом и ее следует отбросить.

Используя метод 3s, следует помнить, что существует очень малая , но отличная от нуля вероятность того, что отброшенный результат наблюдения является не промахом, а естественным статистическим отклонением. Причем эта вероятность возрастает с уменьшением числа измерений. Например, при числе измерений n=10 вероятность того , что хотя бы один результат наблюдения отличается от среднеарифметического , принимаемое за результат измерения, на величину 3s , будет уже не 0.003, а приблизительно 0.03, то есть в 10 раз больше.

Таким образом, правило 3sпросто и удобно, но дает хорошие результаты лишь при большом числе измерений. При малом числе измерений рекомендуется использовать табличный метод.

В основу этого метода положено то обстоятельство, что при малом числе измерений результаты эксперимента уже не подчиняются НЗР, а среднее арифметическое ряда измерений и СКО становятся функциями от числа измерений. На этом основании, используя результаты , даваемые теорией вероятностей, составлены специальные таблицы (см. табл. 4.5).

В табл. 4.5 помещены значения некоторых табличных коэффициентов Wt подсчитанные в зависимости от доверительной вероятности Рд и числа измерений n. Коэффициенты Wt являются, по сути , отношением доверительных интервалов D1,2, соответствующих выбранной доверительной вероятности Рд, к СКО s ( т.е.Wt эквивалентен коэффициенту Стьюдента t ) . Wt=D1,2/s

При практическом применении табличного метода выполняются следующие операции:

1. Подсчитывают и для данного ряда измерений с учетом предполагаемого промаха Хпр .

2. Для предполагаемого промаха Хпр определяют Wпр

Wпр=

3. По специальным таблицам (табл. 4.5) в зависимости от проведенного числа измерений n и принятой доверительной вероятности Рд находится величина табличного коэффициента Wt

4. Проводится сравнение величины Wпр для предполагаемого промаха, полученной по экспериментальным данным, с табличной величиной Wt.

Если выполняется условие Wпр<Wt то величина Хпр не является промахом, и ее следует оставить в ряду измерений. Если Wпр>Wt , то величина Хпр с принятой доверительной вероятностью Рд являются промахом , и ее следует отбросить.

После выявления и исключения промахов подсчитываются новые значения и ,и уже эти новые значения участвуют в расчетах.

 

Пример: Проверить, нет ли грубых погрешностей в данных табл. 4.3.

Определим границы доверительного интервала

Поскольку максимальное случайное отклонение результата наблюдения составляет 9*10-4 Ом т.е. меньше 21.3*10-4 Ом, нет оснований для исключения этого результата.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.