Критерий согласия хи-квадрат (Пирсона)

Лабораторная работа № 1

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Введение

Обработка результатов прямых равноточных измерений

Обработка результатов косвенных измерений

Программа статистической обработки измерений

Литература

Цель работы: научиться обрабатывать экспериментальные данные равноточных измерений.

Приборы и принадлежности:

1. Персональный компьютер.

2. Программа статистической обработки экспериментальных данных.

ВВЕДЕНИЕ

Измерение – совокупность операций, выполняемых с помощью технического средства, хранящего единицу величины, позволяющего сопоставить измеряемую величину с ее единицей и получить значение величины. Это значение называют результатом измерений.

Результат измерений должен сопровождаться указанием погрешности, с которой он получен.

Погрешность измерений – отклонение результатов измерений от истинного (действительного) значения измеряемой величины.

Истинное значение физической величины неизвестно и применяется в теоретических исследованиях; действительное значение величины определяется экспериментально из предположения, что результат эксперимента (измерения) наиболее близок к истинному значению величины.

Цель любого измерения – это получение результата измерений с оценкой истинного значения измеряемой величины. Для этого проводится обработка результатов измерений, в большинстве случаев с помощью вероятностно-статистических методов теории вероятностей и математической статистики.

Считается, что однократные измерения допустимы только в порядке исключения, так как они по существу не позволяют судить о достоверности измерительной информации. Если можно принять, что в погрешности результата измерений роль систематической [1] погрешности пренебрежимо мала по сравнению со случайной [2] погрешностью, то при определении необходимого количества измерений следует исходить из возможности проведения статистической обработки результатов измерений. Известно, что при 7 … 8 измерениях оценки их результатов приобретают некоторую устойчивость. Если необходимо получение достоверных результатов измерений, то их число должно быть 25 … 30. Если объект измерений до этого не исследовался и, кроме предварительных, обычно расчетных значений величин, о нем мало что известно, то в этом случае число измерений должно быть увеличено до 50 … 100, а при необходимости нахождения законов распределения оцениваемых величин число измерений целесообразно увеличить на порядок.

Главная цель увеличения числа измерений (если систематическая составляющая погрешности исключена) состоит в уменьшении случайности результата измерений и, следовательно, в наилучшем приближении результата к истинному значению величины. Но увеличивать число измерений с целью найти истинное значение величины бессмысленно.

По результатам измерений чаще всего рассчитывают среднее арифметическое значение и статистическое среднее квадратическое отклонение (СКО) величины. Первое является оценкой математического ожидания величины, а статистическое СКО – оценкой теоретического СКО.

Пусть изучается некоторая случайная величина x. Произведено n независимых измерений с результатами x₁, x₂… x_i … x_n. Для оценки истинного значения измеряемой величины используется среднее арифметическое значение, которое обычно обозначается или (оценка математического ожидания m_x, соответствующего для физической величины ее истинному значению): . (1)

Оценкой дисперсии D_x дискретной величины X является статистическая дисперсия, как статистический второй центральный момент [3]

где – статистическая вероятность значения .

Одним из условий получения надежных оценок является требование к их несмещенности, которое заключается в том, чтобы при замене оценкой истинного значения X_ист не допускалась систематическая погрешность (в сторону увеличения или уменьшения относительно X_ист).

Несмещенной оценкой дисперсии D_x является величина

, (2)

Статистическое СКО . (3)

При обработке результатов измерений приходится встречаться с различными законами распределения измеряемых величин, рассматриваемых как случайные величины: нормальный закон распределения или закон Гаусса, равномерный закон распределения, закон распределения Максвелла, арксинусный закон распределения, треугольный закон распределения, корреляционный закон распределения и т.д.

Нормальный закон распределения величины х представляется плотностью распределения , (4)

где – математическое ожидание величины X;

– СКО (теоретическое).

Плотность распределения величины Х является размерной функцией:

, [4]

Кривая плотности распределения величины Х симметрична относительно точки рассеивания, имеющей абсциссу m_x (рис. 1). Параметр σ_х характеризует форму кривой распределения. С увеличением значения σ_х кривая распределения «растягивается» вдоль оси абсцисс.

Рис. 1. Нормальный закон распределения

Для некоторого интервала значений от a до b вероятность того, что выполняется

a < X < b

После замены переменной , т.е., :

, (5)

Для вычисления интеграла (5) пользуются таблицами функции Лапласа (приложение А) в виде

, (6)

С помощью функции Лапласа вычисляется интеграл (5)

, (7)

При выполнении точных измерений целесообразно изучить реальную форму закона распределения результатов измерений и учитывать его свойства при обработке этих результатов.

С целью нахождения закона распределения той или иной величины (параметра) производятся сотни и тысячи измерений. После построения эмпирического закона распределения величины необходимо построить соответствующую ему модель теоретического закона распределения, обычно путем сопоставления эмпирической модели известным законам распределения. Эта задача решается с помощью критериев согласия: критерий согласия хи-квадрат (Пирсона), критерий согласия Колмогорова, метод моментов. В зависимости от применяемых критериев согласия закон распределения представляется в виде плоскости распределения, функции распределения или отношений центральных моментов случайной величины.

Отличаясь простотой применения, критерий Колмогорова уступает критерию хи-квадрат по степени доверия к результатам идентификации законов распределения.

Применение метода моментов требует наличия большого количества измерений. Для надежной оценки первого момента (математического ожидания) требуется выборка n ≥ 30, для оценки вторых моментов – n ≥ 100, для оценки третьих моментов – n ≈ 1000. Таким образом, применение метода моментов при обычных, небольших выборках (число измерений не превышает 100) практически ограничено.

Во многих случаях число измерений, превышающее 30 … 40, позволяет использовать их результаты для идентификации закона распределения с помощью критерия хи-квадрат.

Критерий согласия хи-квадрат (Пирсона)

Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины X, рассматриваемой как случайная. Результаты измерений для удобства распределяются в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего.

Весь диапазон измеренных значений величины Х разделяется на некоторое число разрядов (интервалов). Число этих разрядов определяется различными способами, например

или , (8)

где k – число разрядов;

n – число измерений.

После определения числа разрядов ряда строится статистический ряд – таблица 1, в которой приведены длины разрядов I_i (в порядке их соответствия оси абсцисс измеряемой величины Х), количества значений величины m_i, оказавшихся в том или ином разряде, а также статистические частоты P*_i.

Таблица 1

I_i	x₁; x₂	x₂; x₃	...	x_i; x_i+₁	...	x_k; x_k+₁
m_i	m₁	m₂	...	m_i	...	m_k
			...		...

Если теоретический закон нормальный, то с помощью формулы (7) определяется теоретическая вероятность в разряде (x_i; x_i₊₁):

где и – соответственно математическое ожидание и СКО величины Х.

Поскольку они не известны, то при расчетах заменяются статистическими значениями – средним арифметическим значением (1) и статистическим СКО S_x (3).

В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и статистическими частотами критерий хи-квадрат предусматривает использование величины

, (9)

Если в процессе использования критерия согласия хи-квадрат определена величина , то по числам и r (r = k – s – число степеней свободы, где s – число независимых условий, которым должны удовлетворять статистические вероятности . Число s определяется формой теоретического закона распределения. Для симметричных законов распределения, таких как нормальный, s = 3) с помощью таблицы (приложение Б) находится вероятность р того, что величина, имеющая распределение с r степенями свободы, превзойдет данное значение . Вероятность р есть вероятность того что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и эмпирического распределений должна быть не меньше, чем полученная по результатам измерения.

Если серия измерений выполнена качественно, систематические погрешности исключены, то вероятность р, превышающая 0,2, может рассматриваться как не столь малая, при которой рассматриваемую гипотезу можно считать правдоподобной. И наоборот, если вероятность р велика, например, 0,95, то следует с настороженностью подойти к принятию гипотезы, если число измерений не равно 300 … 500.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: