|
Запись чисел в стандартном виде
Всякое положительное число можно записать в виде
(*)
где число a удовлетворяет неравенствам , k - целое число.
Если число записано в виде (*), то говорят, что оно записано в стандартном виде. Целое число k называется порядком данного числа.
Например, порядок числа равен 1, порядок числа равен -2, порядок числа равен 0.
Например, если и , то
и следовательно, с точностью до .
Аналогично, с точностью до .
Если порядок числа x равен n, а порядок числа y равен m, то порядок произведения x∙y равен (n + m) или (n + m + 1).
Например, если и , тогда и .
Погрешности простейших арифметических действий:
Положение 1. Предельная абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
Замечание. При сложении приближенных чисел в полученном результате нужно отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных приближенных чисел.
Пример.Найти сумму , если ,
Решение: Из условия задачи следует, что . По правилу подсчёта точности суммы получаем Следовательно, .
Положение 2.Предельная абсолютная погрешность разности двух приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Замечание. При вычитании приближенных чисел в полученном результате нужно отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных приближенных чисел.
Пример. Найти разность , если ,
Решение: Из условия задачи следует, что , . По правилу подсчёта точности разности имеем . Следовательно, .
Положение 3. Предельная относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
Замечание. При умножении приближенных чисел в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр (самое «короткое» из данных приближенных чисел).
Пример. ; ;
Решение: Будем иметь:
; .
; .
Но , откуда
Если округлить число u до приближенного значения , то получим:
.
Положение 4.Предельная относительная погрешность от деления двух приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.
Замечание.При делении приближенных чисел в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр (самое «короткое» из данных приближенных чисел).
Пример. ; ;
Решение: Будем иметь:
; .
; .
.
Но , откуда .
Если мы хотим округлить число u до приближенного значения , то получим: .
Положение 5. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа, записанного в десятичной форме верными цифрами, равна произведению показателя степени на предельную относительную погрешность основания.
Замечание. При возведении приближенного числа в квадрат и куб в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.
Пример. Найти степень , если с точностью до 2.5%.
Решение: По правилу подсчёта точности степени получаем с точностью до , т. е. с точностью до 10%.
Найдём границу абсолютной погрешности степени: . Следовательно, .
Положение 6. Предельная относительная погрешность корня из приближенного числа, записанного в десятичной форме верными цифрами, равна предельной относительной погрешности подкоренного числа, деленной на показатель корня.
Замечание. При извлечении квадратного или кубического корня из приближенного числа в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.
Пример. Найти , если с точностью до 2.5%.
Решение: По правилу подсчёта точности корня получаем с точностью до .
Найдём границу абсолютной погрешности степени: . Следовательно, .
Лекция 14. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Численное интегрирование – это вычисление определенного интеграла путем замены подынтегральной функции более простой аппроксимирующей функцией, последующего прямого интегрирования и получения расчетных формул (квадратурных формул).
Геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции, описываемой подынтегральной функцией
Численные методы нахождения определенного интеграла сводятся к вычислению площади криволинейной трапеции путем замены y=f(x) более простой линией. В зависимости от того, многочленом какой степени заменяется кривая y=f(x), получают различные формулы численного интегрирования: формулы прямоугольников, формулу трапеции, формулу Симпсона.
Рассмотрим график функции y=f(x) на [a;b]. Разобьем [a;b] точками на n равных частей, так что а=х0 < x1 < …< xn=b. Точки х0, х1,…хn – называют узлами разбиения.
Очевидно, что каждая точка , где k = 1,2,…,n, - шаг.
Формула средних прямоугольников:
Формула средних прямоугольников для расчета:
Формула левых прямоугольников:
Формула для расчета:
Формула правых прямоугольников:
Формула для расчетов:
Формула трапеции:
Формула метода трапеции имеет вид:
Метод Симпсона (метод парабол):
Формула для расчетов имеет вид:
Пример.Вычислить определенный интеграл по формулам прямоугольников и трапеции при n=6, .
Решение: подынтегральная функция имеет вид f(x)= , a = 0, b = 0.6
Шаг интегрирования равен
Так как и т.д., то составим расчетную таблицу.
Примечание: в связи с тем, что определенный интеграл необходимо вычислить и по формуле средних прямоугольников, то шаг в таблице будет равен (см. таблицу)
n
| xn
|
|
| f( xn)=
|
|
| 0,000
| 1,000
| 1,000
| 0,5
| 0,05
| 0,003
| 1,003
| 0,998
|
| 0,1
| 0,010
| 1,010
| 0,990
| 1,5
| 0,15
| 0,023
| 1,023
| 0,978
|
| 0,2
| 0,040
| 1,040
| 0,962
| 2,5
| 0,25
| 0,063
| 1,063
| 0,941
|
| 0,3
| 0,090
| 1,090
| 0,917
| 3,5
| 0,35
| 0,123
| 1,123
| 0,891
|
| 0,4
| 0,160
| 1,160
| 0,862
| 4,5
| 0,45
| 0,203
| 1,203
| 0,832
|
| 0,5
| 0,250
| 1,250
| 0,800
| 5,5
| 0,55
| 0,303
| 1,303
| 0,768
|
| 0,6
| 0,360
| 1,360
| 0,735
|
Для вычисления определенного интеграла по формуле средних прямоугольников воспользуемся формулой:
Для вычисления определенного интеграла по формуле левых прямоугольников воспользуемся формулой:
Для вычисления определенного интеграла по формуле правых прямоугольников воспользуемся формулой:
По формуле трапеции получим:
Литература:
1. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. М.: Наука, 1980г. – 496с.
2. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений / Григорьев С.Г., Задулина С.В.; под ред. Гусева В.А. – М.: Издательский центр «Академия», 2007г.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учебное пособие для втузов. – 6-е изд., испр. – М. Высш. шк., 2002г.
4. Калиниченко Ю.А. Введение в численные методы: Учебное пособие. – Хабаровск: ХИИК, 2013г.
5. Осипова В.Ю., Калиниченко Ю.А. Учебное пособие «Теория вероятностей», 2001г., - 58с.
6. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 304с.
7. Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика: Учебное пособие. – М.: Издательско-книготорговый центр «Маркетинг», 2002.- 384с.
8. Шипачев В. С. Задачи по высшей математики. М.: Выс. шк., 1997г. – 304с.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|