Примеры позиционных систем счисления

· 1 — единичная (унарная) система счисления, может рассматриваться как вырожденный случай позиционнойсистемы счисления.

· 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании)

· 3 — троичная система счисления

· 8 — восьмеричная (в программировании)

· 10 — десятичная система счисления

· 12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется исейчас)

· 16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах)

· 40 — сорокаичная система счисления (применялась в древности («сорок сороков = 1600»))

· 60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты)

Свойства

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

· Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение неприменимо кунарной системе счисления, в которой используется только одна цифра.

· Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется цифр, где означает взятие целой части числа.

· Естественный порядок на натуральных числах соответствует лексикографическому порядку на их представлениях в позиционной системе счисления. Поэтому сравнивать их представления можно поразрядно, начиная со старшего разряда, до тех пор, пока цифра в одном числе не будет больше соответствующей цифры в другом. Например, для сравнения чисел 321 и 312 в десятичной системе счисления нужно сравнивать цифры в одинаковых разрядах слева направо:

· 3 = 3 — результат сравнения чисел пока не определён;

· 2 > 1 — первое число больше (независимо от оставшихся цифр).

· Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх последних операций ещё и таблицу умножения в соответствующей системе.

5.Структура и формат данных

Структуру данных определяют перечень и взаимосвязь всех сведений, необходимых для представления данных в разрядной сетке машины (величина разрядной сетки определяется количеством разрядов сумматора арифметико-логического устройства или ячейки памяти ЭВМ). В общем случае структура данных задается формой представления данных, для чисел — естественной и нормальной формами.

При естественной форме число записывается в естественном натуральном виде с выделением в общем случае следующих компонент числа: знака, запятой и цифр числа, например 238 — целое отрицательное число, 0,00125 — правильная дробь и т. д. Следовательно, для представления таких чисел в ЭВМ необходимо в слове данных выделить поле знака, поле запятой и поле цифр. Для сокращения длины разрядной сетки и упрощения обработки данных в конкретных ЭВМ положение запятой фиксируется схемотехнически, т. е. аппаратными средствами — представление чисел с фиксированной запятой. При этом в слове данных сохраняются лишь два структурных компонента: поле знака и поле цифр (рис. 2.1, а). Очевидно, что ограничение длины разрядной сетки (поля цифр) приводит к ограничению диапазона изменения чисел и потере точности их представления. Например, если под поле цифр выделено пять разрядов, то число 0,00000111 будет восприниматься ЭВМ как 0,00000 (рис. 2.1,б).

Рис. 2.1

Для расширения диапазона представления чисел и уменьшения погрешности их задания используется нормальная форма записи.

При нормальной форме запись одного числа может принимать разный вид в зависимости от ограничений, накладываемых на ее форму. Например, число 2429 может быть записано так: 2429 = 2,429•10³ =0,2429•10⁴ = 24290•10^-1 и т. д. В общем случае нормальная форма записи числа может быть представлена в виде А = ±mq^±p, где m — мантисса числа; q — основание ПСС; р — порядок числа.

Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и в какую сторону сдвинута запятая при замене формы записи числа с естественной на нормальную. Поэтому такую форму записи называют представление чисел с плавающей запятой.

Для представления числа в нормальной форме в слове данных выделяют четыре структурных компонента (рис. 2.1, в, г): два поля знаков (мантиссы и порядка) и два поля цифр (поле q при выбранной ПСС избыточно).

Нетрудно убедиться, что в условиях ограничения разрядной сетки машины максимально возможную точность представления чисел (из рассмотренных) имеет нормальная форма записи числа, при которой старшая цифра мантиссы является значащей. Например: 0,125•10³₍₁₀₎; 0,11011•10^-101₍₂₎. Такие числа называют нормализованными.

Для упрощения операций над порядками (см. § 2.4 — 2.6) применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком:

Р_см = Р + N

где N — целое положительное число — смещение, N = — mах( — Р). Обычно N=2^k, где k — число двоичных разрядов в поле цифр несмещенного порядка. В этом, случае поле знаков порядков оказывается избыточным, так как код Р_см всегда положительный (рис. 2.1,д). Для устранения неоднозначности смещенные порядки называют характеристиками.

Формат данных определяет разрядность размещаемых в разрядной сетке машины структурных компонентов данных и выбирается с учетом принятых ПСС, способа кодирования структурных компонентов и диапазона изменения чисел.

Основной структурной единицей информации в машинах является бит (от англ, binary digit — двоичная цифра) —такое количество информации, которое доставляется получателю при приеме одного из двух возможных равновероятных сообщений (кодируемых, например, 0 и 1). В ЭВМ, использующей двоичную ПСС, бит представляет такое количество информации, которое может быть записано в одном разряде машинной сетки. Поэтому бит часто используют в качестве единицы измерения длины машинного слова, емкости памяти и пр. Эволюция вычислительной и информационной техники вызвала появление 8-битовой единицы измерения, которая получила название байт. Большинство современных ЭВМ оперируют числами из 8, 16, 24 или 32 бит, или 1, 2, 3 или 4 байт. Для расширения диапазона представляемых чисел последние могут занимать два — четыре соседних слова. Кроме того, в некоторых типах ЭВМ используются специальные приемы расширения диапазона представляемых чисел. Например, в системе малых ЭВМ (СМ ЭВМ) старший разряд мантиссы не представляется в явном виде в поле цифр мантиссы, так как его содержимое всегда равно единице (числа нормализованные), а это может быть учтено схемотехнически при выполнении операций над числами. Так увеличивается на один разряд длина поля цифр мантиссы.

6. Элементарные логические функции

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: