III Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

4. Умножение на сопряжённое выражение.

5. Переход к модулю.

6. Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

§ Область значения функции

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

§ Свойство монотонности

§ Использование суперпозиций функций

· Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой

Пример 8:

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ:

· Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:

Пример 9:

Рассмотрим случаи:

§ Если , то , тогда

тогда

§ Если , тогда ,а

2=6( ложно)

§ Если , тогда , а

Ответ: -3;3

· Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:

ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ:

Пример 11:

, тогда

Тогда невозможно.

Ответ: корней нет.

§ Область значений функции

Пример 12:

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

· Если и , то

Пример 14:

Заметим, что , т.е. , а

Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:

§ Свойство монотонности

· Пусть - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.

· Пусть - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .

Рассмотрим функции и .

монотонно возрастает, а - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:

Пример 16:

Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то - единственный корень .

Ответ:

§ Использование суперпозиций функций

· Если - монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.

Пример 17:

Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

не удовлетворяет условию

Ответ:

1. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

1 6 5

2 3 4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

1. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
2. Задание на дом:

Решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) *

Используемая литература.

1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2

3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.

5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

Вариант 1(1,3,5 группы).

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Вариант 2( 2,4,6 группы)

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Проверочная работа по теме: «Методы

Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Разложи на множители:

5. Умножай на сопряжённое выражение:

6. Переходи к модулю:

7. Используй свойства функций:

8. Реши любым способом:

решения иррациональных уравнений»

Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Разложи на множители:

5. Умножай на сопряжённое выражение:

6. Переходи к модулю:

7. Используй свойства функций:

8. Реши любым способом:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: