Измерение скорости распространения продольных волн в стержне.

Цель работы

Исследование явления акустического резонанса. Измерение скорости распространения продольных колебаний в тонких стрежнях. Измерение модуля Юнга различных материалов.

В работе используются: генератор звуковых частот, частотомер, ос­циллограф, электромагнитные излучатель и приемник акустических ко­лебаний, набор образцов в виде стержней и «толстых» цилиндров из различных материалов (ста­ли, алюминия, латуни, текстолита и т. д.).

Распространение продольных волн в тонких стержнях. Акустические волны, распространяющиеся в металлических стержнях, существенно отличаются от волн распространяющихся в неограниченной среде. При этом речь идет о волнах, длина которых λ велика или сравнима с радиусом R стержня. Строгий анализ распространения таких волн связан с довольно громоздкими и трудными математическими расчетами. Рассмотрим распространение продольной волны вдоль оси тонкого стержня постоянного сечения площадью S в пределе. Стержень считается тонким в том случае, когда радиус стержня R мал по сравнению с длиной волны λ, т.е. . Направим ось x вдоль геометрической оси стержня (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие на элемент стержня при продольных колебаниях.

Под действием продольной силы F элементарный отрезок стержня Δx, ограниченный плоскостями Δx и x + Δx , растянется или сожмется на величину Δξ . Относительное удлинение, т.е. деформация элемента стержня, будет равна ∂ξ/∂x . Напряжение σ*, т.е. сила, приходящаяся на единицу поперечного сечения стержня, согласно закону Гука, будет равна:

(3)

Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля Юнга и имеет размерность Н/м2.

В результате переменной деформации вдоль оси стержня будет распространяться продольная волна. Действительно, в сечениях x и x + Δx напряжения будут различными, а их разность можно записать следующим образом:

(4)

Эта разность напряжений вызовет движение элемента стержня массой m = SρΔx вдоль оси x . Уравнение движения этого элемента можно записать в виде:

(5) ,

где ρ - плотность материала стержня. Обозначив Ε/ρ через (с_ст)², выражение (5) запишем в следующем виде:

(6)

Это уравнение носит название «волнового уравнения». Оно, в частности, описывает распространение продольных волн в стержне. Решение волнового уравнения можно представить в форме двух бегущих волн, распространяющихся в обе стороны вдоль оси x со скоростью С_ст:

(7)

где f и F- произвольные функции. В случае гармонического возбуждения колебаний функции f и g являются синусоидальными

Таким образом скорость распространения продольной волны в пределе стремится к величине

(8)

называемой стержневой скоростью. В данной работе используется именно эта мода. Отметим, что в высокочастотном пределе, когда скорость акустических волн в стержне стремится к скорости продольных волн в неограниченной среде:

( 9 )

где, µ - коэффициент Пуассона.

Измерение скорости распространения продольных волн в стержне.

Зная плотность материала и величину скорости С_ст можно по формуле (8) вычислить модуль Юнга материала Е. Для определения величины скорости С_ст в данной работе используется метод акустического резонанса. Это явление состоит в том, что при определенных частотах гармонического возбуждения колебаний волны, распространяющиеся по стержню в противоположные стороны, оказываются в фазе, что приводит к резкому увеличению амплитуды колебаний. В данной работе возбуждение колебаний происходит посредством воздействия на торец стержня периодической силой, направленной вдоль его оси. Возбуждаемая при этом волна испытывает многократные отражения от торцов стержня. При этом прямая и отраженная волны оказываются в фазе и усиливают друг друга, если на длине стержня укладывается целое число полуволн, т.е. , где L – длина стержня, λ – длина волны, а n – произвольное натуральное число. Число n называют номером гармоники. Зная частоту f_n, на которой наблюдается резонансное усиление амплитуды колебаний, вызванных периодическим воздействием на торец стержня и номер гармоники можно рассчитать скорость распространения продольных волн в стержне:

(10)

Таким образом, для того, чтобы измерить скорость с_ст, нужно измерить частоты, на которых наблюдаются акустические резонансы и, зная номера гармоник и геометрические размеры стержня, рассчитать скорость по формуле (10). Далее, по формуле (8) можно рассчитать и модуль Юнга материала, из которого изготовлен стержень. Отметим, что такой метод определения модуль Юнга материала является одним из самых точных.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: