Основное уравнение гидростатики

В однородной несжимаемой жидкости, покоящейся под действием силы тяжести (рисунок 1.2), давление возрастает с глубиной по закону:

р₂ = р₁ + r ×g × h, (1.13)

где р₁ – давление в произвольной точке жидкости;

р₂ – давление в точке 2 на глубине h₁, отсчитываемой от точки 1;

r - плотность жидкости;

g – ускорение свободного падения.

Рисунок 1.2

Эта зависимость представляет основной закон равновесия жидкости в однородном поле силы тяжести.

Поверхностями уровня давления (поверхностями равного давления) в рассматриваемых случаях являются горизонтальные плоскости.

При определении давления в точках жидкости, заполняющей открытый в атмосферу сосуд, удобно в качестве исходной точки брать точку на свободной поверхности, где действует атмосферное давление р_ат. в этом случае абсолютное давление в произвольной точке жидкости:

р = р₀ + r × g × Н, (1.13)

где Н – глубина расположения точки под уровнем жидкости.

Уравнение (1.13) может быть выведено другими способами, и, как правило, его называют основным уравнением гидростатики.

Избыточное давление, создаваемой в этом случае только весом жидкости:

р_и = r × g × Н. (1.14)

Так для воды (ρ = 1000 кг/м³) избыточное давление на глубине Н = 10м равно (при g = 9,81 м/с²):

р_и = 98,1 кПа.

Пример 1. Определить плотность жидкости в системах СИ, СГС, МкГс, если удельный вес ее равен g = 920 кГ/м³.

Решение.

Плотность в системе МкГс равняется

кг×с²/м⁴.

плотность в системе си составит:

так как 1 кГ = 9,81 Н = 9,81 кгм/с², то

r = 93,8 × 9,81 кгм/с² × 1 с²/м⁴ = 920 кг/м³.

Плотность в системе СГС определяется из соотношения:

г/см³.

Пример 2.Барометр, установленный на первом этаже многоэтажного дома показывает давлений 738 мм.рт.ст. Каковы будут показания барометра после переноса его на девятый этаж, если высота каждого этажа равна 4,5 м, а температура воздуха 20°С. Плотность воздуха при нормальных атмосферных условиях (давление равное 760 мм.рт.ст. и температуре 20°С) рана 1,29 кг/м³.

Решение.

Давление, создаваемое столбом воздуха составляет:

р₉ = r×g×h×z =1,29×9,81×4,5×9 = 512,5 Па(Н/м²).

Так как 10⁵ па эквивалентно 735,6 мм.рт.ст. то 512,5 Па, на основании соотношения 10⁵ Па = 735,6 мм.рт.ст., эквивалентно 3,77 мм.рт.ст.

На основании основного уравнения гидростатики, определим давление воздуха на девятом этаже многоэтажного здания:

р₉ = 738 – 3,77 = 734,23 мм.рт.ст.

Примечание.

Определение плотности воздуха проведено для нормальных условий. В действительности первоначальное давление составляло 738 мм.рт.ст. Этой связи, при точном определении давления, необходима корректировка плотности.

Пример 3. Определить давление газа в баллоне по показанию двухжидкостного чашечного микроманометра, заполненного жидкостями, имеющие плотности r₁ = 1000 кг/м³ и r₂ = 13600 кг/м³ . Задано отношение диаметров трубки и чашек прибора d/D =15, h = 30 мм. (рисунок 1.3).

Решение.

Для определения давления, прежде всего, применим закон равновесия несжимаемой жидкости, из которого следует, что в жидкости r₂ на уровне 1–1 давление в трубках манометра одинаково. В правой трубке оно создано атмосферным давлением р_ат и весовым давлением столба жидкости r₂. Так как высота этого столба неизвестна, введем размер Х.

Рисунок 1.3

Тогда р₁ = р_ат + r₁×g×(h+Х). В левой трубке давление на уровне 1 - 1 создается давлением р_газа в баллоне и весовым давлением жидкости r₁ и r₂.

Для выражения давления через указанные величины введем еще один размер Dh, представляющий разность уровней жидкости r₁, в чашках прибора.

Тогда

р₁ = р + r₁×g×( Х + Dh) + r₂×g×h.

Сравнивая эти соотношения, получим

р + r₁×g×( Х + Dh) + r₂×g×h = р_ат + r₁×g×(h+Х),

откуда

р = р_ат - (r₂ - r₁)×g×h - r₁×g×Dh.

Как видно из полученного результата, использование закона равновесия несжимаемой жидкости недостаточно для решения задачи, так как величина Dh неизвестна.

Для определения Dh применим уравнение постоянства объема несжимаемой жидкости в системе:

;

.

Подставив полученное выражение для Dh в соотношение, полученное выше, получаем:

Р = 10⁵- (13600 - 1000)×9,81×0,15 - 1000×9,81×0,015 = 81445,3 Па .

Поскольку r₁ < r₂, имеем р < р_ат, т.е. давление в баллоне меньше атмосферного.

р_вак =(r₂ - r₁)×g×h + r₁×g×Dh = 12600×9,81×0,15 + 1000×9,81×0,0015 = 18554,5 Па.

ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ 1

Задача 1

Нефть с удельным весом g имеет коэффициент динамической вязкости m. Определить коэффициент кинематической вязкости в системах СИ, СГС, МкГс. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Задача 2

Определить избыточное и абсолютное давление на глубине h, под свободной поверхностью ртути, если барометрическое давление составляет P_б.

Задача 3

Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен молоком при температуре t на высоту H. Определить положение уровня молока при повышении температуры на величину Dt.

Расширение резервуара не учитывать.

Задача 4

Два открытых сообщающихся сосуда заполнены водой и ртутью. Определить разность уровней h в обоих сосудах, если высота столба ртути над плоскостью раздела составляет h₁.

Задача 5

Определить необходимую высоту дымовой трубы для печи котельной, если труба должна создавать разрежение ∆hпри средней температуре дымовых газов t_ди температуру окружающего воздуха t_возд.. Плотности дымовых газов и воздуха при нормальных условиях (t=0 ^°с и р = 760 мм.рт.ст.) Принять соответственно равными r_{0 д} = 1,27 кг/м³,r_{0 возд}=1,29 кг/м³.

Задача 6

Определить давление р_о на поверхности жидкости в закрытом сосуде, если подключенный на глубине Hртутный манометр показывает разностҗ уравней ртути h, а расстояние от точки присоединения манометра до нижнего уровня ртути равно а. Давление выразить в паскалях.

Задача 7

Определить пьезометрическую высоту h_xподнятия пресной воды в закрытом пьезометре (соответствующую абсолютному гидростатическому давлению в точке А), если показания открытого пьезометра при атмосферном давлении р_ат равно h, а расстояния от свободной поверхности жидкости в резервуаре до точек А и В,соответственно, h₁и h₂.

Задача 8

Определить абсолютное гидростатическое давление в точке А закрытого резервуара с дистиллированной водой, если при атмосферном давлении р_ат, высота столба ртути в трубке дифманометра h, а линия раздела между ртутью и водой расположена ниже точки В на величину h_1,, точка Врасположена выше точки А на величину h₂.

Задача 9

Закрытый резервуар снабжен дифманометром, установленным в точке Ви закрытом пьезометром. Определить приведенную пьезометрическую высоту h_x поднятия пресной воды в закрытом пьезометре (соответствующую абсолютному гидростатическому давлению в точке А), при атмосферном давлении р_атм, высота столба ртути в трубке дифференциального манометра h, а точка А расположена на глубине h₁ от свободной поверхности.

Задача 10

Определить при атмосферном давлении р_атм высоту h_x поднятия ртути в дифференциальном манометре, подсоединенном к закрытому резервуару в точке В, частично заполненному дистиллированной водой, если глубина погружения точки Аот свободной поверхности резервуара h₁, приведенная пьезометрическая высота поднятия воды в закрытом пьезометре (соответствующую абсолютному гидростатическому давлению в точке А) h₂.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: