Уравнение равновесия жидкого тела
ГИДРОСТАТИКА
Силы, действующие в жидкости
Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.
Все реальные жидкости находятся под непрерывным воздействием различных сил. Как правило, эти силы оказываются распределенными по объему рассматриваемой жидкости или по ее поверхности. В соответствии с этим действующие силы разделяют на объемные (массовые) и поверхностные.
К массовым силам относятся: сила тяжести, силы электромагнитного происхождения и различные силы инерции. Примером поверхностных сил являются силы трения (обусловленные свойством вязкости), поверхностного натяжения (вызванные молекулярными силами сцепления), давления.
Для описания массовых (объемных) сил обычно используется понятие плотности их распределения внутри некоторого объема :
где - массовая сила, действующая на единицу массы жидкости ( ).
Гидростатическое давление
Если жидкость находится в состоянии покоя, то на нее не действуют касательные силы т. к. они привели бы к появлению касательных напряжений , которые возникают только при движении жидкости. Следовательно в покоящейся жидкости действуют только сжимающие нормальные напряжения, вызванные поверхностными силами натяжения и массовыми силами тяжести.
Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое со знаком минус, называется давлением и обозначается буквой Р:
это давление называют гидростатическим давлением. Знак минус указывает на то, что нормальное напряжение , приложенное в точках поверхности выделенного объема, направлено в сторону, противоположную орту внешней нормали к данной поверхности, т. е. внутрь выделенного объема.
Следует отличать гидростатическое давление, отнесенное к данной точке и выражающее напряжение сжатия:
где р – давление в точке, dp – давление на элементарную площадку d ,
от силы гидростатического давления, отнесенной к площади поверхности, которую в дальнейшем будем для краткости называть просто давлением:
, или
Гидростатическое давление р в любой данной точке одинаково по всем направлениям ине зависит от угла наклона площадки действия.
Уравнение равновесия жидкого тела
Пусть какое-либо жидкое тело массой М и плотностью , с центром тяжести в т. А (рис.) находится в равновесии под действием внешних сил, равнодействующая которых F. Разложив силу F на три составляющих, параллельных координатным осям Fx, Fy и Fz и поделив их на М, можно найти:
; ;
где X, Y и Z — проекции ускорений, вызываемых внешними силами, на соответствующие координатные оси.
Рисунок 5
В точках 1 и 2 (центры тяжести граней, параллельных плоскости yOz) будут приложены силы dP1 и dP2, направленные навстречу друг другу вдоль оси (рис.5).
Поскольку жидкое тело находится в покое, то условия равновесия всех действующих в направлении оси х сил можно записать так:
dFx + dP1 — dP2=0,
где dFx — проекция на ось элементарной массовой силы,
dFx = dMX
где dM - элементарная масса:
dM = pdW
где dW - элементарный объем рассматриваемого параллелепипеда:
dW = dxdydz.
Силы гидростатического давления на площадки сторон:
dP1 = p1dydz
dP2 = p2dydz,
где p1 и p2 — давление в точках 1 и 2. Считая давление в точке А (центре тяжести рассматриваемого параллелепипеда) равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длины в направлении координатной оси х, может быть представлено частной производной , будем иметь
Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия, получим
Если полученное уравнение отнести к единице площади, т. е. обе части уравнения разделить на dydz:
Аналогичным образом с учетом условий равновесия относительно двух других координатных осей, получены дифференциальные уравнения подобного же вида:
Сложив почленно все три уравнения, получим:
Из высшей математики известно, что сумма частных дифференциалов, стоящая в левой части, представляет собой полный дифференциал:
dp = (Xdx + Ydy + Zdz)
p =
Чтобы это общее выражение использовать для решения тех или иных задач, в каждом конкретном случае необходимо знать ускорение X, Y и Z.
Геометрическое место точек, имеющих одинаковое давление р = const, dp = О, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|