Сделай Сам Свою Работу на 5

Уравнение равновесия жидкого тела





ГИДРОСТАТИКА

Силы, действующие в жидкости

Гидростатика — раздел гидравли­ки, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жид­кости.

Все реальные жидкости находятся под непрерывным воздействием раз­личных сил. Как правило, эти силы оказываются распределенными по объему рассматриваемой жидкости или по ее поверхности. В соответствии с этим действующие силы разделяют на объемные (массовые) и поверхностные.

К массовым силам относятся: сила тяжести, силы электромагнитного происхождения и различные силы инерции. Примером поверхностных сил являются силы трения (обусловленные свойством вязкости), поверхностного натяжения (вызванные молекулярными силами сцепления), давления.

Для описания массовых (объемных) сил обычно используется понятие плотности их распределения внутри некоторого объема :

где - массовая сила, действующая на единицу массы жидкости ( ).

 

Гидростатическое давление

Если жидкость находится в состоянии покоя, то на нее не действуют касательные силы т. к. они привели бы к появлению каса­тельных напряжений , которые возни­кают только при движении жидкости. Следовательно в покоящейся жидкости действуют только сжимающие нормальные напряже­ния, вызванные поверхностными силами натяжения и массовыми силами тя­жести.



Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взя­тое со знаком минус, называется давлением и обозначается буквой Р:

это давление называют гидро­статическим давлением. Знак минус указывает на то, что нормальное напряжение , прило­женное в точках поверхности выделенного объема, направлено в сторону, противоположную орту внешней нормали к данной поверхности, т. е. внутрь выделенного объема.

Следует от­личать гидростатическое давление, отнесенное к данной точке и выражаю­щее напряжение сжатия:

где р – давление в точке, dp – давление на элементарную площадку d ,

от силы гидростатического давления, отнесенной к площади поверхности, которую в дальнейшем будем для краткости называть просто давлением:

, или

Гидростатическое давление р в любой данной точке одинаково по всем направ­лениям ине зависит от угла на­клона площадки действия.



 

Уравнение равновесия жидкого тела

Пусть какое-либо жидкое тело мас­сой М и плотностью , с центром тяжести в т. А (рис.) находится в равновесии под действием внешних сил, равнодействующая которых F. Разложив силу F на три составляющих, параллельных координатным осям Fx, Fy и Fz и поделив их на М, можно найти:

; ;

где X, Y и Z — проекции ускорений, вызываемых внешними силами, на со­ответствующие координатные оси.

Рисунок 5

 

В точках 1 и 2 (центры тяжести граней, параллель­ных плоскости yOz) будут приложены силы dP1 и dP2, направленные навстре­чу друг другу вдоль оси (рис.5).

Поскольку жидкое тело находится в покое, то условия равновесия всех действующих в направлении оси х сил можно записать так:

dFx + dP1 — dP2=0,

где dFx — проекция на ось элементар­ной массовой силы,

dFx = dMX

где dM - элементарная масса:

dM = pdW

где dW - элементарный объем рассматривае­мого параллелепипеда:

dW = dxdydz.

Силы гидростатиче­ского давления на площадки сторон:

dP1 = p1dydz

dP2 = p2dydz,

где p1 и p2 — давление в точках 1 и 2. Считая давление в точке А (центре тяжести рассматриваемого параллеле­пипеда) равным р, и учитывая, что из­менение гидростатического давления, приходящееся на единицу длины в на­правлении координатной оси х, может быть представлено частной производ­ной , будем иметь

Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия, получим

Если полученное уравнение отнести к единице пло­щади, т. е. обе части уравнения разделить на dydz:

Аналогичным образом с учетом усло­вий равновесия относительно двух дру­гих координатных осей, получены диф­ференциальные уравнения подобного же вида:



 

 

Сложив почленно все три уравнения, получим:

Из высшей математики известно, что сумма частных дифференциалов, стоя­щая в левой части, представляет собой полный дифференциал:

dp = (Xdx + Ydy + Zdz)

p =

Чтобы это общее выражение исполь­зовать для решения тех или иных задач, в каждом конкретном случае не­обходимо знать ускорение X, Y и Z.

Геометрическое место точек, имею­щих одинаковое давление р = const, dp = О, называется поверхностью рав­ного давления, или поверхностью уровня.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.