Свойства неопределённого интеграла

1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:

1. 3 Таблица основных интегралов

1	8
2	8.1
2.1	8.2
2.2	9
3	9.1
3.1	9.2
3.2	10
3.3
4
4.1	10.1
4.2	10.2
5	11
5.1	11.1
5.2	11.2
6	12
6.1	12.1
6.2	12.2
7	13
7.1	13.1
7.2	13.2
14	15

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным, называется непосредственным интегрированием.

Замечание 1.

Под тождественными преобразованиями будем понимать:

- применение формул элементарной математики;

- почленное деление числителя подынтегрального выражения на знаменатель;

- дополнительные или искусственные преобразования, которые не нарушают равносильности выражения.

Интегрирование алгебраических функций

1

Выполните самостоятельно

2 3 4

5

Выполните самостоятельно

6 7 8

Указание. Примените формулу

9 Указание. Числитель ПФ разложите на множители:

10 Указание. В числителе ПФ примените формулу:

11 . 12 .

Указание. Числитель ПФ разложите на множители:

13

Интегрирование тригонометрических функций

14

.

15

.

Выполните самостоятельно

18 Указание. Примените формулу и выполните почленное деление числителя ПФ на знаменатель.

19 20 21

Указание. Примените формулу: .

22 =|примените формулу: |= = |примените формулу |= = =| примените формулы |=

Интегрирование дробно- рациональных функций с помощью дополнительных преобразований

Замечание. При вычислении неопределенных интегралов непосредственным способом применяются дополнительные или искусственные преобразования, не нарушающие равносильности подынтегральной функции.

Рассмотрим на конкретных примерах

23

.

Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае «удачной» подстановки). Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Тем не менее, рассмотрим несколько общих подходов (назовем их правилами) к данному методу, что позволит систематизировать умение интегрировать методом подстановки и определять новую переменную.

2.2.1 Интегрирование функций (табличные интегралы) к аргументу, которых прибавляется постоянная величина

Рассмотрим некоторые табличные интегралы к аргументу, которых прибавляется (вычитается) постоянная величина .

32

Решение. Введем подстановку x+2 = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:

, ,

Подставим вместо x+2 и их значения через t в данный интеграл, получим:

Легко заметить, что формулы интегрирования сохраняют инвариантность (вид). В данном случаи степенная функция интегрируется по аргументу (х+2).

33

Правило 1

Если к аргументу подынтегральной функции прибавляется (вычитается) постоянная величина , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность

34

2.2.2 Интегрирование функций (табличные интегралы) аргумент, которых умножается

На постоянную величину

Рассмотрим некоторые табличные интегралы аргумент, которых умножается на постоянную величину

35

Решение. Введем подстановку 3x = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:

, ,

Подставим вместо и их значения через t в данный интеграл, получим:

|заменим t его выражением через x|=

Замечание В дальнейшем процедура решения, представленная, в примерах 32, 35 будет записываться в виде:

.

36

Правило 2

Если аргумент подынтегральной функции умножается на постоянную величину , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность, результат интегрирования умножается на число .

37

Правило 3

Если под знаком интеграла стоит дробная функция(рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю(или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t. где или где , то

Выполните самостоятельно

Правило 4

Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента, то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t. ,

Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).

78

79

80

81

Выполните самостоятельно

82 83

84 85

 

12

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.