Понятие неопределенного интеграла
Пояснительная записка
Настоящее учебно-методическое пособие состоит из двух частей:
1 Неопределенный интеграл
2 Основные способы интегрирования
2.1 Непосредственный способ интегрирования
2.2 Метод интегрирования подстановкой
2.3 Интегрирование по частям.
Каждый способ структурирован по общим признакам интегрирования, содержит набор интегралов с решениями и для самостоятельного решения студента. Интегралы для самостоятельного решения сопровождаются указаниями и ответами. Такая структура учебно-методического пособия делает его удобным для самостоятельного овладения основными способами интегрирования при минимальной помощи со стороны преподавателя.
В пособии представлены образцы интегрирования функций. По тексту для всех рассматриваемых интегралов предусмотрена единая нумерация.
Непосредственный способ интегрирования
1
| 5
| 13
| 14
| 15
| 16
| 17
| 23
| 24
| 25
| 26
| |
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
32
| 33
| 34
| 35
| 36
| 37
| 38
| 39
| 40
| 41
| 42
| 43
| 50
| 52
| 53
| 57
| 58
| 59
| 60
| 61
| 66
| 67
| 68
| 69
| 70
| 71
| 72
| 73
| 78
| 79
| 80
| 81
| 86
| 87
| 88
| 89
| 95
| 96
| 101
| 102
| | |
Метод интегрирования по частям
111
| 112
| 113
| 114
| 115
| 116
| 117
| 118
| 129
| Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, выполнения практического занятия 16 Основные способы интегрирования и самостоятельной работы студента 16 Интегрирование функций: непосредственным способом, заменой переменной, по частям.
Данное учебно-методическое пособие является базовым для подготовке студентов к экзамену по модулю ЕН.01.М.07 Интегральное исчисление.
Работая с пособием, студенты имеют возможность одновременно обращаться к учебной и справочной литературе:
- Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учеб. Пособие/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – 8-е изд., стер. – М.: Наука, 1973. – 720с.: ил.
Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл,
п.78-81;
- Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил.
Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.
Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции.
Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, физике, химии приводят к решению обратной задачи: по заданной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. найти функцию , зная её производную .
Обратную задачу решает интегральное исчисление.
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение.Функция называется первообразной функции в данном интервале, если во всех точках этого интервала её производная равна заданной функции, т.е. .
Из определения вытекают три вопроса.
1 Любая ли функция имеет первообразную?
2 Если существует, то сколько первообразных может иметь заданная функция?
3 Как найти эти первообразные?
Ответы на эти вопросы дают теоремы.
Теорема 1 (без доказательства)
Если функция непрерывная в данном интервале, то она имеет первообразную.
Теорема 2Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных
Пусть - первообразная функции , тогда и функция так же является её первообразной. Действительно :
Например, первообразной функции является функция , т.к.
Очевидно, что первообразными будут также любые функции где С – постоянная, поскльку
Теорема 3(без доказательства)
Любые две первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение Неопределенным интеграломдля заданной функции называется совокупность всех её первообразных и обозначается .
Таким образом, по определению
(*)
В равенстве (*):
- подынтегральная функция (ПФ);
- подынтегральное выражение (ПВ);
- первообразная функции;
- совокупность первообразных;
- дифференциал независимой переменной, указывает по какой переменно функция интегрируется.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Интегрирование действие обратное дифференцированию и его можно проверить дифференцированием.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|