Перестановки без фиксированных пар
Постановка задачи: Обозначим через - число таких перестановок чисел , что ни одна из этих перестановок не содержит ни одной из упорядоченных пар .
Решение:
Для вычисления используем принцип включения и исключения. Будем говорить, что перестановка обладает свойством , если она содержит i–тую упорядоченную пару (i, i+1). Число всех перестановок .
Перестановки, обладающие свойством , получаются как перестановки элементов и пары , рассматриваемой как один элемент. Следовательно, независимо от .
Перестановки, обладающие двумя свойствами, т.е. имеющие две упорядоченные пары, например и , получаются из пар , каждая из которых рассматривается как отдельный элемент и оставшихся элементов, т.е. из (n-2) элементов.
Если к=i+1 , то перестановки составляем из (i, i+1, i+2) и (n-3) остальных элементов, т.е. тоже из (n-2) элементов.
независимо от и . Число перестановок, не обладающих ни одним из свойствами , зависит только от и .
Всего пар может быть - (n-1), следовательно:
Распределение объектов по ячейкам
Даны объектов (предметов) и ячеек (ящиков). Требуется определить количество способов, которыми объекты могут быть распределены по ячейкам. При этом в зависимости от условия задачи необходимо учитывать следующие варианты:
- объекты могут быть одинаковыми или различными;
- ячейки могут быть одинаковыми или различными;
- возможно ограничение на количество объектов в ячейках;
- возможен учёт порядка объектов в ячейках или порядка ячеек.
Прежде чем рассмотреть решения различных вариантов постановки задачи распределения объектов по ячейкам, введём условные обозначения:
0 0 0 …0 – объекты (m штук);
/ – перегородка, отделяющая одну ячейку от другой (всего перегородок k-1 штук).
Приведём несколько примеров распределения объектов по ячейкам с учётом введённых обозначений:
- все объекты попали в последнюю ячейку;
- три объекта в первой ячейке, все остальные в последней.
Перейдём к обзору методов решения основных задач распределения объектов по ячейкам.
Распределение одинаковых объектов
Во всех следующих задачах (кроме пункта 5.4) предполагается, что ячейки различны и различают их по номерам: .
Вместимость ячеек неограниченна, ячейки не могут быть пустыми
Ввиду условных обозначений, данная задача может быть переформулирована следующим образом: необходимо в интервале между объектами разместить перегородку так, чтобы две перегородки не стояли рядом. Это можно сделать способами (до первой перегородки – в первую ячейку, между первой и второй – во вторую, и т.д.).
Вместимость ячеек неограниченна, ячейки могут быть пустыми
При данной формулировке задачи перегородки (т.е./) могут стоять произвольным образом, т.е. возможны следующие варианты:
/ / 0 0 / 0…0 – два объекта в третьей ячейке, все остальные – в последней;
…………….
/…/ 0…0 – все объекты в последней ячейке.
Следовательно, из имеющихся мест необходимо выбрать места дляперегородки. Количество способов, которыми это можно сделать равно
Получаем – сочетания с повторениями.
Возможен другой способ рассуждений. Любому объекту ставится в соответствие номер ячейки, в которую он попал. Таких номеров . Нужно набрать сочетания из номеров по (сочетания – так как объекты одинаковы, имеет значение число объектов, получивших номер 1, номер 2 и т.д., а не их порядок). Результатом данного способа также являются сочетания с повторениями.
Вместимость каждой ячейки не менее, чем l объектов
Сначала в каждую ячейку помещаем по l объектов, а затем оставшиеся (m-k*l) объектов распределяем без ограничения на число объектов в ячейке (как описано в случае 1.2). Получаем количество способов распределения:
.
Распределение различных объектов по ячейкам без учёта порядка объектов в ячейке
Вместимость ячеек неограниченна, ячейки могут быть пустыми
Любой объект может попасть в любую ячейку. Т.е. первый объект можно поместить в любую из k ячеек, второй (независимо от первого) также поместить в любую из k ячеек и т.д. По правилу произведения результат будет следующим:
Вместимость ячеек задана
Пусть вместимость первой ячейки – n1, вместимость второй ячейки – n2, …вместимость k-ой ячейки – nk. Причём . Объект для первой ячейки может быть выбран способами, для второй – и т.д.
По правилу произведения число способов заполнения всех ячеек равно:
.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|