Подведение под дифференциал
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
К РАЗДЕЛУ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для индивидуальной самостоятельной работы по разделу
«Интегральное исчисление»
курса «Математика» для студентов профилей 12.03.04
«Биотехнические и медицинские аппараты и системы»,
«Менеджмент и управление качеством в здравоохранении»
очной формы обучения
Воронеж 2015
Понятие первообразной функции
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке изменения переменной , если существует производная F′(x) при любых x из рассматриваемого промежутка и F′(x) = f(x).
Понятие неопределенного интеграла
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных для этой функции.
Обозначение: ∫ f(x)dx = F(x) +C, где F(x) – некоторая первообразная для f(x), C – произвольная постоянная, ∫ означает неопределенный интеграл, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции:
. (1)
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
. (2)
3. Неопределенный интеграл от производной от некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
(3)
4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
(4)
5. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
(5)
6. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
где – постоянная. (6)
Таблица основных неопределенных интегралов
1.
| 2.
| 3.
| 4.
| 5.
| 6.
| 7.
| 8.
| 9.
| 10.
| Пример 1.Найти интеграл .
Преобразуем подынтегральное выражение, а затем воспользуемся свойством 5 и первым табличным интегралом.
5. Замена переменной в неопределенном интеграле
Введение новой переменной помогает привести заданный интеграл к табличному или сводящемуся к табличному. Общих методов подбора новой переменной не существует. Однако в некоторых случаях могут быть даны следующие рекомендации.
Линейная замена
Интегралы вида упрощаются с помощью замены :
Итак,
(7)
где F – первообразная функции f.
Пример 2.Найти интеграл
Согласно свойству 5, этот интеграл может быть представлен в виде суммы интегралов:
Найдем первый интеграл, упростив его с помощью линейной замены.
Очевидно, что проще было бы избежать введения новой переменной, а воспользоваться формулой (7) и сразу записать:
Пользуясь формулой (7), найдем остальные интегралы:
Окончательно запишем:
Пример 3.Найти интеграл
Преобразуем подынтегральное выражение и с помощью замены переменной сведем этот интеграл к табличному.
Подведение под дифференциал
Если в подынтегральном выражении уже есть дифференциал функции т.е. интеграл имеет вид , то его можно упростить с помощью замены переменной Тогда и получаем: .
Заметим, что в этом случае можно не вводить новую переменную t, а записать интеграл в виде:
. (8)
Формулу (8) называют также формулой подведения под дифференциал.
Пример 4.Найти интеграл .
Пример 5.Найти интеграл
Пример 6.Найти интеграл
Пример 7.Найти интеграл
Пример 8.Найти интеграл .
Пример 9.Найти интеграл .
6. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Метод интегрирования по частям основан на формуле
. (9)
Применение этой формулы целесообразно тогда, когда интеграл в правой части формулы проще, чем исходный интеграл. В некоторых случаях необходимо применять формулу несколько раз. В частности, этим методом пользуются для нахождения интегралов вида
(10)
и (11)
где -многочлен степени k, .
Также с помощью интегрирования по частям находятся интегралы вида
(12)
В общем случае за u обозначается та функция, которая упрощается при дифференцировании, а за v – та, которая упрощается при интегрировании. Так, в интегралах вида (10) за u необходимо обозначать поскольку при дифференцировании этой функции происходит понижении степени (функция «упрощается»).
В интегралах вида (11) и (12) за u необходимо обозначить соответственно.
Пример 10.Найти интеграл
Пример 11.Найти интеграл
Пример 12.Найти интеграл .
Пример 13.Найти интеграл
Для нахождения этого интеграла метод интегрирования по частям необходимо применить дважды.
Пример 14. Найти интеграл
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|