Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Свойства определённого интеграла

5.1. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл

Пусть функция определена на . Разобьём произвольным образом точками на частичных отрезков длиной . Выберем в каждом из них произвольно точку и найдем значения функции в каждой из этих точек , то есть . Сумма вида

(5.1)

называется n-ой интегральной суммой функции на .

Геометрический смысл интегральной суммы (5.1) – сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами (рис.1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка данного разбиения . Найдем предел интегральной суммы , когда так, что .

Определение. Если существует конечный предел суммы (5.1), не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора в них точек , то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается: .

,

– подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – отрезок интегрирования, и – нижний и верхний пределы интегрирования, – переменная интегрирования.

Теорема. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы (5.1) существует.

Если , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью и прямыми . Эта фигура называется криволинейной трапецией.

В общем случае, когда функция на отрезке принимает значения разных знаков, определённый интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью и под ней, т.к. расположенной под осью , принимает отрицательное значение.

5.2. Свойства определённого интеграла

Далее будем рассматривать функцию непрерывную на . По определению полагают, что определённый интеграл от функции с равными верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю

. (5.2)

1. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный

. (5.3)

2. Аддитивность по области интегрирования.

Каковы бы ни были числа , если интегрируема на большем из отрезков, концами которых являются эти точки, то интегрируема и на меньших отрезках иимеет место равенство

. (5.4)

Доказательство. Пусть , т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения , то будем разбивать так, чтобы точка с была точкой разбиения, т.е. , тогда . Переходя к пределу при , получаем равенство (5.4).

Далее пусть , тогда по доказанному .

3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла, т.е.

. (5.5)

4. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

. (5.6)

Доказательство. Очевидно, что

, переходя к пределу, получим

Итак, .

Свойство 4 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Свойства 3,4 называются свойствами линейности.

Далее будем считать, что .

5. Если всюду на верно неравенство , то .

6. Монотонность.

Если всюду на верно неравенство , то

.

7. Оценка модуля интеграла.

Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, то есть

. (5.7)

Следствие.Если всюду на верно неравенство , то .

8. Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на , то

. (5.8)

9. Теорема о среднем.

На отрезке существует точка такая,что

. (5.9)

Доказательство. Пусть , так что для любых . Тогда в силу монотонности и линейности определённого интеграла имеем:

и, разделив на , получаем . Так какнепрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим, то найдётся по крайней мере одна точка на отрезке такая, что . Число называется средним значением функции на отрезке .

9¢. Обобщенная теорема о среднем для интегралов.

Если функция интегрируема и неотрицательна на отрезке , а функция удовлетворяет на этом отрезке условию , где и , то

.

10. Интеграл с переменным верхним пределом.Если функция определена и дифференцируема на и имеет место равенство , то – первообразная для функции .

11. Формула Ньютона-Лейбница.Если – первообразная функции на , то

. (5.10)

Доказательство. Наряду с первообразной функции является функция . А т.к. всякие две первообразные одной и той же функции отличаются на константу, то справедливо равенство: . Полагая в этом равенстве сначала , а затем , получим , . Вычитая из первого равенства второе, получим формулу Ньютона-Лейбница. Разность в правой части этой формулы записывают также в виде .

Формула (5.10) даёт простой метод вычисления определённого интеграла: определённый интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Таким образом, задача вычисления определённого интеграла сводится к нахождению неопределённого интеграла. Здесь используются те же методы интегрирования.

12

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.