Примеры решения типовых задач

Примеры решения типовых задач

Пример 1.Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 и табличными интегралами (5), (2), (3), (9). Получим:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Возведём в квадрат подынтегральную функцию, проведём тригонометрические преобразования, применим свойство 4 и табличные интегралы (2),(5)

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Применив тождественные преобразования, свойство 4 и табличные интегралы (2), (10), получим:

Пример 4.Вычислить интеграл .

Решение. Введём переменную , . Тогда . Используем формулу (2.1)

При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно заменять не как функцию , а наоборот, задавать как функцию от .

Пример5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда . Используя формулу (2.1) и табличный интеграл (3), получим:

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим известное тригонометрическое тождество, далее положим . Тогда . Используя табличный интеграл (2), имеем:

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда и по формуле интегрирования по частям получим:

, где .

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение. Положим Тогда и по формуле интегрирования по частям получим:

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда и по формуле интегрирования по частям получим:

В некоторых случаях формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз.

Пример 10.Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда , по формуле интегрирования по частям имеем: . Далее, пусть . Тогда , ещё раз применив формулу интегрирования по частям, имеем:

Задания для самостоятельной работы

n 1. Вычислить интегралы.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 2. Вычислить интегралы с помощью метода замены переменной.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям.

а) , ;	б) , ;
в) , ;	г) , ;
д) , ;	е) , ;
ж) , ;	з) , ;
и) , ;	к) , .

Интегрирование рациональных функций

Рациональными функциями называются функции вида , где – многочлены степени соответственно. Приведём необходимые в дальнейшем сведения из алгебры о рациональных функциях.

Число называется корнем или нулём многочлена , если

Теорема Безу.Многочлен делится без остатка на тогда и только тогда, когда число а является корнем данного многочлена.

Таким образом, Корень а называется k-кратным, если , где . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно, деля числитель на знаменатель, представить в виде суммы многочлена, называемого целой частью дроби, и правильной рациональной дроби.

Например: .

Будем рассматривать правильные рациональные дроби с действительными коэффициентами многочленов в числителе и знаменателе. Среди них назовём простейшими дроби вида: , , .

Теорема (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей). Всякую рациональную правильную дробь со знаменателем представимым в виде произведения можно разложить в виде суммы простейших рациональных дробей типа 1) – 2). В данном разложении каждому корню кратности многочлена соответствует сумма k дробей вида , где – действительные числа, называемые неопределёнными коэффициентами.

Примеры решения типовых задач

Рассмотрим два наиболее простых способа нахождения неопределённых коэффициентов на одном конкретном примере.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. I метод – метод неопределённых коэффициентов.

Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами: . Приведя к общему знаменателю правую часть, получим равенство числителей: .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях этого равенства.

При .

Тогда и .

Далее находим неопределённый интеграл:

II метод – метод частных значений.

Придадим аргументу столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя.

. Тогда получим систему независимых уравнений, из которой имеем: .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами: . Приведя дроби в обеих частях к общему знаменателю, получим: . Найдём неопределённые коэффициенты методом частных значений, придадим аргументу последовательно значения –1, 1, 0. Получим систему: , откуда и . Таким образом: .

Пример 3.Вычислить интеграл .

Решение. Выделим целую часть дроби:

Разложим знаменатель дроби на множители с действительными коэффициентами:

. Умножая это равенство на общий знаменатель, получим: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

При .

При . Тогда и

. Итак, вычислим неопределённый интеграл: .

Задания для самостоятельной работы

n 4. Вычислить интеграл от дроби, содержащий в знаменателе квадратный трехчлен.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 5. Вычислить интегралы от рациональных функций.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

4. Интегрирование некоторых тригонометрических и
иррациональных функций

В этом параграфе для интегралов от некоторых классов тригонометрических и иррациональных выражений будут даны рационализирующие подстановки, то есть замены переменной, приводящие исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Здесь через будем обозначать рациональные выражения относительно и , то есть выражения, полученные путем применения конечного числа раз к аргументам и операций сложения, вычитания, умножения, деления и композиции функций.

4.1. Интегрирование тригонометрических функций

I. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки.В этом случае .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо их выражения через , получим интеграл от рациональной дроби:

.

В случае, когда имеет место тождество

для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощённую подстановку .При этом .

Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .

Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .

II. Для отыскания интегралов вида

используют следующие формулы:

При нахождении интегралов вида возможны следующие случаи:

1) хотя бы одно из чисел или – нечетное, например , тогда

2) оба числа или – четные, тогда рекомендуется использовать следующие формулы, позволяющие понизить степень тригонометрических функций: ,

4.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определённых подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

I. Интеграл вида , где – постоянные, приводятся к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки , где наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей , т.е. .

II. Интегралы вида

тригонометрическими подстановками соответственно сводятся к уже рассмотренным интегралам вида .

К рассмотренным интегралам могут быть преобразованы интегралы , если из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат суммы и сделать линейную замену переменной.

Если в трехчлене , то интеграл рационализируется подстановкой Эйлера .

Возведя обе части равенства в квадрат, получаем , , , .Таким образом,

, где – рациональная функция от .

Если же в трехчлене , а , то для рационализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера: .

12

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.