Введение и формирования математического понятия дроби на уроках математики

Всякое понятие, в том числе математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчеркивает существенные.

Формирование математических абстракций может привести к формализму в знаниях учащихся, если оперирование ими будет бессодержательно, если за каждой абстракцией ученик не увидит наглядной мысленной картины, т. е. образа. Игнорирование практической деятельности учеников с материальными или материализованными объектами, которые несут наглядное знание и формируют образы, приводит к появлению поверхностных знаний, а иногда и к отсутствию их.

Обыкновенная дробь является, по существу, первой глубокой математической абстракцией, которая встречается в школьном курсе. Пренебрежение учителем содержательной стороной изучаемых понятий, быстрый переход к формальному оперированию дробями без достаточно надежной опоры на наглядность приводят к тому, что слабые, а то и средние ученики не понимают изучаемого материала. Порой за обозначением 3/5 ученик не видит никакого образа. Для такого ученика и операции над дробями превращаются в серию непонятных процедур, последовательность которых ему приходится просто запоминать.

Формированию верного представления о понятии "обыкновенная дробь" и умению пользоваться им способствуют практические работы с материализованными объектами. Ниже приведены некоторые из материалов, по которым целесообразно проводить такую работу.

Осваивая понятие "обыкновенная дробь", ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.

На этом этапе обучения весьма полезны карточки, образцы которых показаны ниже. Карточка № 1 — это только вариант индивидуального задания. Именно индивидуального. Каждый ученик получает свою карточку, которая отличается от карточек у других ребят. Это побуждает ученика действовать самостоятельно, а не просто наблюдать манипуляции учителя с моделями, к которым чаще всего сводится "наглядность" при изучении дробей.

В карточке 1 нужно заполнить таблицу, указывая каждую часть, если это подсказывается рисунком, в виде "разных" дробей (1/2 = 3/6). Своеобразной подсказкой являются жирные линии, делящие фигуры. Выполняя предложенные упражнения, ученик осваивает понятие дроби, подмечает основное свойство, подсчитывает дополнение дроби до единицы. Уже на этом этапе он встречается в неявном виде со сложением дробей, с приведением дроби к новому знаменателю.

По карточке учащимся приходится отвечать на следующие вопросы:

Какая часть фигуры (всего в каждой карточке по 8 фигур самых разнообразных очертаний) закрашена штриховкой определенного вида?

Какая часть фигуры закрашена штриховками обоих видов? (Этот вопрос подводит учащихся к сложению дробей, например требуется сложить 6/18 и 3/18 долей фигуры Е.)

Какая часть фигуры осталась без штриховки? (Здесь фактически требуется вычесть правильную дробь из 1, например найти, какая часть фигуры С осталась без штриховки, если заштриховано ее 5/10 частей.)

Косой штриховкой закрашены 4/12 доли фигуры О, а прямой штриховкой - 2/12 доли той же фигуры. Какая штриховка занимает больше долей фигуры С? На сколько долей больше занимает в фигуре

С косая штриховка, чем прямая? (Сравнение дробей друг с другом и вычитание дробей.)

На сколько частей жирные линии делят фигуру В? Сколько в каждой из этих частей содержится 12-х долей данной фигуры?

Рассмотрите фигуру Г, выделите в ней 1/4 долю. Выразите дробь 1/4 другими дробями, руководствуясь фигурой Г.

Основное свойство дроби закрепляется по карточке № 2. Она разделена на две части, в каждой из которых демонстрируются три способа деления одного "отрезка" на равные части: на 4 части, на 8 частей и на 16 частей (на 3 части, на 6 частей и на 12 частей). Учащиеся должны записать отсутствующие числители у двух из трех равных дробей. Для этого им придется проделать следующие действия: выделить на рисунке первый отрезок, заданный одной из трех дробей (той, у которой известны и числитель и знаменатель); найти второй отрезок, равный первому (он разделен на то число частей, которое указано знаменателем другой дроби); подсчитать число частей во втором отрезке и записать его в числителе второй дроби; мысленно разделить один из отрезков на то число частей, которое указано знаменателем третьей дроби, и сообщить, сколько потребуется набрать таких частей для третьего отрезка такой же длины, что и первые два. Как видим, такой процесс побуждает учащихся самостоятельно оперировать наглядным материалом и постепенно в ходе этого оперирования вырабатывать формальное правило.

Упражнения по карточкам № 3 и 4 взаимно обратны. Они представляют новый аспект освоения понятия дроби. Выполнение предложенных упражнений сопровождается моторными действиями, которые лучше запоминаются учениками с кинестетическим (двигательным) типом мышления.

Отметим, что в карточке № 3 исходные фигуры намеренно усложнены. Таким образом обеспечивается закрепление в сознании учащихся не геометрического образа, а последовательности арифметических действий над числом, получающимся в результате подсчета равных элементов фигуры. Аналогично и в карточке Л* 4 в ответах не получается "хороший" прямоугольник. Учащимся приходится постепенно переходить от манипуляций с геометрическими объектами к арифметическим действиям. Так, если первое задание учащиеся могут выполнить чисто геометрически (приставив к фигуре, обозначающей дробь 1/2, еще точно такую же фигуру), то в случае с дробью 2/5 так поступить уже нельзя. Приходится сначала поделить данную фигуру на 2 части. В следующем задании (дробь 3/4) такое деление не удается осуществить "безболезненно", т. е. наглядным образом. Приходится начинать с подсчета числа равных квадратиков данной фигуры.

Для усвоения способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби ученикам вновь предлагается задание по наглядному материалу, т. е. по карточкам № 5 и б. Выполняя эти задания, ребята обращаются к рисункам. При этом они отчетливо осознают суть операций нахождения дроби от числа и числа по его дроби, поскольку с этими операциями связываются наглядные картины — образы. Важно лишь в заданиях предложить ученикам достаточное количество образных вариаций, не одну-две, как часто бывает на уроках, а пять-шесть. На индивидуальной карточке такие задания предъявить легко, поскольку ученик работает один, не снижал темп изучения материала всем классом. Конечно, практика оперирования дробями не должна ограничиваться приведенными упражнениями с наглядным материалом. Учитель должен использовать и обычные задания из учебных пособий. Делать это он может дифференцированно, задерживал одних на карточках и стимулируя других более сложными упражнениями.

При изучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможность поработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей. В данном случае используются задания, схожие с теми, что приведены в карточке № 7. Здесь тонкие линии помогают понять, каким будет наименьший общий знаменатель и что он наглядно означает. Подсказывается и то, какой будет дробь, приведенная к новому знаменателю. Попрактиковавшись в выполнении таких упражнений, ученик сможет наглядно оценивать результат сложения двух дробей, делая необходимые прикидки. Для слабого ученика такая работа полна смысла: опираясь на нее, можно вводить алгоритм сложения дробей с разными знаменателями, который теперь не будет представляться ребенку непонятной процедурой. Параллельно со сложением на наглядном уровне изучается и операция вычитания дробей. По карточке № 7 целесообразно предложить школьникам найти разность дробей:

Почти традиционно правило умножения обыкновенных дробей объясняют на примере нахождения площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются данными дробями. Получив с одного примера "заветное" правило, начинают эксплуатировать его, находя произведения дробей. Поспешность и формализм проявляются затем на качестве знаний.

Для того чтобы ученик осознал правило умножения дробей, связал его с наглядным образом, полезно предложить ему следующие упражнения:

На карточке N 8 единичные квадраты разбиты на равные прямоугольники. Найдите, какую часть от единичного составляет маленький прямоугольник. Найдите, какую часть от единичного квадрата А (Д С, Д Е, Р) составляет прямоугольник, выделенный жирной линией.

Найдите, какую часть прямоугольника, выделенного в каждой из фигур А, В, С, Д Е, Р, составляет маленький прямоугольник.

По рисункам А, В, С, Д Е, Р из карточки объясните смысл умножения дробей, записанных под каждой из фигур.

Внимание учеников следует обратить на то, что в квадрате Е жирными линиями выделены прямоугольники, содержащие по три маленьких прямоугольника. Таких прямоугольников в квадрате Е 14, а в заштрихованной фигуре — 5. Дробь ут, которая 3 5 является значением произведения у ' и > получилась 15 из дроби после сокращения на 3, о чем говорит целое число прямоугольников 3^х 1, выделенных жирными линиями.

Для слабых и средних учеников окажутся полезными упражнения на запись в виде неправильной дроби числа, имеющего целую и дробную части, упражнения на деление дроби на целое число.

Таким образом, приведенные карточки позволяют при изучении математики обращаться к природе вещей, находить возможность включения ребенка в практическую деятельность, в процессе которой у него формируются образы, помогающие осваивать изучаемые абстракции.

[1] Термин «конкретное» употребляется здесь в смысле более многостороннее».

[2] Иногда бывает полезным рассматривать понятия двух основных видов: понятия об объекте и понятие об отношении. Например, понятие «больше», характеризует отношение между натуральными числами а > b.

[3] «Математическое просвещение». Под ред. Я.С.Дубнова, А.А.Дубнова, А.А.Ляпунова и А.И.Маркушевича, вып.2., М., 1957, с.255.

[4] Каталог учебных кинофильмов, диафильмов и звукозаписей для школ. А1оггорОНО, МосгорИУУ, 1970, с. 115.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: