Методика введения математических понятий на уроках математики

Известный французский математик Фреше справедливо замечает: «Если что-нибудь действительно необходимо, так это уничтожение догматического метода; не давать никаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они применяются»[3]. При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических понятий и т. п.).

При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить другой путь, называемый абстрактно-дедуктивным.

Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:

Дать определение нового понятия (уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а≠0 называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).

2. Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия (х² + рх + с = 0, ах² + с = 0, ах² + bх = 0, ах² = 0), проведя своеобразную классификацию этого понятия.

Привести некоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bх + с = 0 неполным квадратным уравнением).

3. Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (х² – 5x + 6 = 0, 3x² - 27 = 0 и т. д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.

4. Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную формулу S=qt² / 2 можно рассматривать как квадратное уравнение qt² — 2S = 0; использовать квадратное уравнение при решении текстовых задач).

Конкретно-индуктивный метод находит большее применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод.

Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с четким представлением об его объеме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.

Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме.

В частности, при усвоении многих геометрических понятий большое значение имеет умение «узнавать» это понятие в более сложном или непривычно расположенном чертеже.

В связи с этим весьма полезны упражнения «по готовым чертежам». Так, например, после ознакомления с понятием «равнобедренный треугольник» учащимся можно предложить следующую серию упражнений:

1. При помощи глазомерной оценки (а затем, подтвердив эту оценку измерением) установить, какие из треугольников, изображенных на рисунке 3, а, б, в, г, являются равнобедренными треугольниками?

2. Назовите и покажите в каждом равнобедренном треугольнике основание и боковые стороны.

3. Назовите и покажите в каждом из них углы при основании и угол при вершине.

На этапе актуализации знаний при изучении некоторого понятия целесообразно выделить серию ситуаций, наличие которых достаточно для возникновения данного понятия.

Так, например, изучив в курсе математики IV—V классов понятие о равенстве величин углов, следует обратить внимание учащихся на то, что величины углов равны, если:

а) углы симметричны относительно прямой;

б) углы получаются один из другого параллельным переносом на данный отрезок;

в) данные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника или углами равностороннего треугольника;

г) углы получаются один из другого поворотом вокруг данной точки на данный угол и т. д.

Эту работу следует проводить планомерно в течение всего года (а может быть, и нескольких лет) обучения; список таких ситуаций, связанных с основными понятиями, может и должен быть продолжен.

При овладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.

Начнем с рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, и укажем некоторые причины их возникновения.

Прежде всего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием тех или иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие, соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, с помощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называется определяющим. Так, например, в определении «Множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком», понятие «отрезок» — определяемое понятие, а понятие «множество точек» — одно из определяющих понятий.

Если это различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается ими стилистически неправильно.

Основные ошибки учащихся при формулировке определений вызваны несоблюдением установившихся в логике «правил определения», при выполнении которых это различие также играет большую роль. Перечислим важнейшие из этих «правил».

1) Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия.

Например, определение «Ромб есть параллелограмм, у которого две смежные стороны конгруэнтны между собой» соразмерно, так как объем понятия «ромб» равен объему понятия «параллелограмм с двумя конгруэнтными смежными сторонами» (множества, определяющие объемы этих понятий, совпадают).

Нарушение этого правила ведет к ошибкам двоякого рода:

а) Объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. В этом случае определяемое понятие относится к определяющему, как вид к роду. Например: «Диаметр окружности есть отрезок прямой, соединяющей две точки окружности». Здесь по существу определена хорда — более широкое понятие, чем диаметр (в объем определяющего понятия входят все хорды окружности).

Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что признак видового отличия («соединять две точки окружности») принадлежит не только диаметрам, но и всем хордам вообще, а поэтому при помощи него нельзя отличить диаметры от других отрезков прямых, соединяющих точки окружности.

Такое определение в логике называется слишком широким.

Чтобы ученики поняли эту ошибку, желательно рассмотреть е ними динамичный рисунок или диафильм «Окружность и круг»[4].

б) Объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия. Последнее относится к первому как род к виду.

В качестве примера рассмотрим следующее определение: «Ромбом называется прямоугольнике двумя конгруэнтными смежными сторонами». Здесь по существу определен квадрат (более узкое понятие, чем ромб). Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что указанный видовой признак (прямоугольник — параллелограмме двумя конгруэнтными смежными сторонами) принадлежит лишь подмножеству множества ромбов - квадратам,т. е. является отличительным лишь для части множества ромбов. Такое определение в логике называется слишком узким.

2) Определение не должно заключать в себе «порочного круга», т. е. нельзя строить определение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явным образом) посредством того же самого определяемого понятия.

Нарушение этого правила также ведет к ошибкам двоякого рода:

а) Определяемое понятие характеризуется таким определяющим понятием, содержание которого становится ясным лишь при помощи самого определяемого понятия.

Так, например, определения «сложение есть действие нахождения суммы» и «суммой называется результат сложения» содержат в себе такой «порочный круг». Определяющее понятие суммы в "этом случае не может быть определено независимо от определяемого понятия — понятия сложения.

б) Определяемое и определяющее понятия по содержанию тождественны, хотя могут быть выражены в различных словах.

Такое определение носит название тавтологии.

Например, «прямой угол — это угол в 90°», или «Прямым углом называется угол, стороны которого перпендикулярны».

Итак, в этих ошибочных определениях сущность определяемого объекта не раскрывается; в определяющем понятии повторяется то, что уже известно об определяемом понятии.

3) Определение по возможности не должно быть отрицательным. Это означает, что следует избегать таких определений, которых видовое отличие выступает в качестве отрицательного понятия.

Иногда в математике все же используют «отрицательные» определения, в частности, если в них указываются признаки, не принадлежащие определенному понятию.

Однако в процессе обучения математике такие определения нежелательны, поскольку они почти не раскрывают содержания понятия, его существенных свойств, а указывают лишь на те свойства, которые не должны иметь определяемые понятия.

Если при введении нового понятия ограничиться только формулировкой его определения и иллюстрацией этого понятия только одним примером, взятым из учебника, не показывая его наглядные модели, то учащиеся нередко усваивают такие понятия неправильно. У учащихся это чаще всего проявляется в попытке незаконных обобщений понятия (обобщений по несущественным признакам) и смешении существенных признаков с несущественными. Типичной ошибкой такого рода является, например, неузнавание учащимися знакомой геометрической фигуры, если та имеет непривычную форму или положение на плоскости.

В частности, учащиеся не «узнают» равнобедренный треугольник, данный в положении, указанном на рисунке 4,а, испытывают большие затруднения в установлении пар подобных треугольников в ситуации, изображенной на рисунке 4, б, и т. п.

Большое значение для сознательного усвоения учащимися важнейших математических понятий имеет система целенаправленных устных вопросов и упражнений, например, таких:

1. Найдите ошибку в следующих определениях (уточните каждое из этих определений):

а) равносильными уравнениями называются такие два уравнения, когда корни первого уравнения являются корнями второго;

б) прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой;

в) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и равный половине третьей стороны, называется средней линией треугольника.

2. Приведите примеры, указывающие на недостаточность следующих определений:

а) касательной к кривой называется прямая, имеющая с кривой только одну общую точку (см. рис. 4);

б) если расстояние от любой точки одной линии L₁ до другой L₂ всюду одинаково, то такие линии называются параллельными (см. рис. 5) и т.д.

Итак, в процессе введения и изучения в школе математических понятий полезно:

1) не вводить новых понятий формально; детально конкретизировать новые абстрактные понятия; по возможности применять конкретно-индуктивный метод;

2) вводить понятия наиболее естественным для учащихся путем; по возможности, следует чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия;

3) мотивировать вводимые понятия, термины, определения; не допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий;

4) в процессе изучения новых понятий полезно выявить связи нового понятия с уже известными понятиями; указывать на аналогию в характеристике новых понятий и понятий известных;

5) на каждом уроке полезно повторять определения известных учащимся важнейших математических понятий, связанных с понятиями, рассматриваемыми на данном уроке, требуя в то же время не столько запоминания определений понятий наизусть, сколько правильной передачи сущности определения данного понятия;

6) при овладении учащимися теми или иными математическими понятиями строго следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости и строгости в формулировках определений. Следует иметь в виду, что «профилактика» ошибок эффективнее их исправления. Заниматься такой профилактикой учителю нужно постоянно.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: