Достаточные условия экстремума.
Пусть определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки . Тогда:
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки.
= .
(При этом . – вычислены в точке , .
Обозначая , получим , где
при , и, следовательно,
.
В силу того, что второе слагаемое в скобках бесконечно мало по сравнению с первым, знак приращения определяется знаком второго дифференциала функции (если он не обращается в нуль). Следовательно от знака второго дифференциала зависит наличие экстремума функции в исследуемой точке.
В алгебре:
Def. Вещественно значная функция векторного аргумента называется квадратичной формой, а квадратная матрица – матрицей квадратичной формы.
Из определения квадратичной формы ясно, что второй дифференциал функции является квадратичной формой , матрица которой состоит из От свойств этой квадратичной формы и зависит имеет ли функция экстремум в рассматриваемой точке или нет.
Def. Квадратичная форма называется положительно определённой, если она принимает положительные значения при всех значениях аргументов, не равных нулю одновременно. , причем .
Def. Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если .
Def. Квадратичная форма называется полуопределённой, если
(или ).
Def. Квадратичная форма называется неопределённой, если
и .
Критерий Сильвестра : Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой необходимо и достаточно чтобы главные миноры матрицы квадратичной формы чередовались по знаку начиная с минуса:
Если миноры будут ++++… или –+–+… но среди них встречаются нулевые то форма будет полуопределённой. Δ▲.
Пример: Форма имеет матрицу:
А= . Ее миноры:
Все миноры положительны, форма положительно определена . В самом деле, нетрудно проверить, что: .
Т°.Если квадратичная форма т.е. второй дифференциал функции,
будет положительно определённой то функция, в испытуемой точке, функция будет иметь минимум; если отрицательно определённой то функция будет иметь максимум.
Если форма полуопределена, то для ответа на вопрос о экстремуме функции требуется привлечение производных более высокого порядка. Во всех остальных случаях – экстремума нет. Δ▲.
Примеры:
1°. Исследовать на экстремум функцию:
Необходимые условия экстремума:
.
Достаточные условия экстремума: составим матрицу из вторых производных:
.
Главные миноры положительны, значит второй дифференциал положителен:
Функция в точке (0,0) имеет минимум. Впрочем, это ясно если построить линии
уровня функции, u = const: (эллипсы). Функция задает эллиптический параболоид.
2°.
Необходимые условия экстремума:
Достаточные условия экстремума: Þ . Второй дифференциал – полуопределён. Обратим внимание на то,что:
при этом ясно, что на линии функция равна нулю, а вне этой линии u > 0. (параболический цилиндр).
Наибольшие и наименьшие значения функции
В замкнутой области.
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. По теореме Вейерштрасса, функция в этой области достигает наибольшего и наименьшего значения.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D нужно найти все внутренние точки D «подозрительные» на экстремум и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в области.
Примеры:
1°.Найти наибольшее значение функции в треугольнике: .
Получаем: . Внутри области обращаются в ноль только в точке На границах области функция u = 0.
Наибольшее значение функции u(x,y):
20. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: при условии .
а). Из условия: и, исключая из переменную получим:
. Сформулируем новую задачу:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в круге x2 + y2 1.
;
.
Из необходимых условий следует, что:
а1). x = 0, y = 0; ( = 0); а2). x = 0, y = ; ( = 0,25);
а3). y = 0; x = ( = 1); а4) .
Последняя система, очевидно, решений не имеет.
б).Теперь надо посмотреть функцию на границе области, т. е. когда:
x2 + y2 = 1 Þ y2 = 1 – x2 Þ для .
Для нее: и, следовательно :
б1). x = 0; ( = 0) б2). x = ; ( = 0,25).
в). И, наконец, надо посмотреть точки x = ±1 при этом в1). x = ± 1, ( = 0).
Вывод: наибольшее значение функции в области = = 1,
наименьшее значение = = = = 0.
3°. Для функции одного переменного, если внутри промежутка имелось только одна точка локального экстремума, то в ней обязательно достигалось наименьшее либо наибольшее значение. Для функций многих переменных это, вообще говоря, не так.
Δ. Для примера рассмотрим функцию в прямоугольнике: . Необходимые условия экстремума: , .
Отсюда следует: а1). x = 0, y = 0. а2). x = 2, y = 2 – не принадлежат прямоугольнику.
Достаточное условие экстремума в точке (0,0):
= , D1 = – 8; D2 = 12.
Функция в D имеет локальный максимум. И, при этом, . Однако это значение не является наибольшим в области, ибо: . ▲
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|