Сделай Сам Свою Работу на 5

Достаточные условия экстремума.





Пусть определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки . Тогда:

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки.

= .

(При этом . – вычислены в точке , .

Обозначая , получим , где

при , и, следовательно,

.

В силу того, что второе слагаемое в скобках бесконечно мало по сравнению с первым, знак приращения определяется знаком второго дифференциала функции (если он не обращается в нуль). Следовательно от знака второго дифференциала зависит наличие экстремума функции в исследуемой точке.

 

В алгебре:

Def. Вещественно значная функция векторного аргумента называется квадратичной формой, а квадратная матрица – матрицей квадратичной формы.

Из определения квадратичной формы ясно, что второй дифференциал функции является квадратичной формой , матрица которой состоит из От свойств этой квадратичной формы и зависит имеет ли функция экстремум в рассматриваемой точке или нет.

Def. Квадратичная форма называется положительно определённой, если она принимает положительные значения при всех значениях аргументов, не равных нулю одновременно. , причем .



Def. Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если .

Def. Квадратичная форма называется полуопределённой, если

(или ).

Def. Квадратичная форма называется неопределённой, если

и .

Критерий Сильвестра : Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой необходимо и достаточно чтобы главные миноры матрицы квадратичной формы чередовались по знаку начиная с минуса:

Если миноры будут ++++… или –+–+… но среди них встречаются нулевые то форма будет полуопределённой. Δ▲.

Пример: Форма имеет матрицу:

А= . Ее миноры:

Все миноры положительны, форма положительно определена . В самом деле, нетрудно проверить, что: .

 

Т°.Если квадратичная форма т.е. второй дифференциал функции,

будет положительно определённой то функция, в испытуемой точке, функция будет иметь минимум; если отрицательно определённой то функция будет иметь максимум.



Если форма полуопределена, то для ответа на вопрос о экстремуме функции требуется привлечение производных более высокого порядка. Во всех остальных случаях – экстремума нет. Δ▲.

Примеры:

1°. Исследовать на экстремум функцию:

Необходимые условия экстремума:

.

Достаточные условия экстремума: составим матрицу из вторых производных:

 

 

.

Главные миноры положительны, значит второй дифференциал положителен:

Функция в точке (0,0) имеет минимум. Впрочем, это ясно если построить линии

уровня функции, u = const: (эллипсы). Функция задает эллиптический параболоид.

 

2°.

Необходимые условия экстремума:

Достаточные условия экстремума: Þ . Второй дифференциал – полуопределён. Обратим внимание на то,что:

при этом ясно, что на линии функция равна нулю, а вне этой линии u > 0. (параболический цилиндр).

 

Наибольшие и наименьшие значения функции

В замкнутой области.

 

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. По теореме Вейерштрасса, функция в этой области достигает наибольшего и наименьшего значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D нужно найти все внутренние точки D «подозрительные» на экстремум и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в области.

Примеры:

1°.Найти наибольшее значение функции в треугольнике: .



Получаем: . Внутри области обращаются в ноль только в точке На границах области функция u = 0.

Наибольшее значение функции u(x,y):

 

20. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: при условии .

 

а). Из условия: и, исключая из переменную получим:

. Сформулируем новую задачу:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в круге x2 + y2 1.

;

.

Из необходимых условий следует, что:

а1). x = 0, y = 0; ( = 0); а2). x = 0, y = ; ( = 0,25);

а3). y = 0; x = ( = 1); а4) .

Последняя система, очевидно, решений не имеет.

 

б).Теперь надо посмотреть функцию на границе области, т. е. когда:

x2 + y2 = 1 Þ y2 = 1 – x2 Þ для .

Для нее: и, следовательно :

б1). x = 0; ( = 0) б2). x = ; ( = 0,25).

 

в). И, наконец, надо посмотреть точки x = ±1 при этом в1). x = ± 1, ( = 0).

 

Вывод: наибольшее значение функции в области = = 1,

наименьшее значение = = = = 0.

 

3°. Для функции одного переменного, если внутри промежутка имелось только одна точка локального экстремума, то в ней обязательно достигалось наименьшее либо наибольшее значение. Для функций многих переменных это, вообще говоря, не так.

Δ. Для примера рассмотрим функцию в прямоугольнике: . Необходимые условия экстремума: , .

Отсюда следует: а1). x = 0, y = 0. а2). x = 2, y = 2 – не принадлежат прямоугольнику.

Достаточное условие экстремума в точке (0,0):

= , D1 = – 8; D2 = 12.

Функция в D имеет локальный максимум. И, при этом, . Однако это значение не является наибольшим в области, ибо: . ▲

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.