Сделай Сам Свою Работу на 5

Производные высших порядков.





РАЗДЕЛ 9. Дифференцирование функций

Многих переменных.

Частные производные и частные дифференциалы.

Задана функция переменных . Частными приращениями функции называются: .

Частной производной функции по переменной называется: .

Обозначения для частных производных:

Вычисление частной производной по переменной производится как обычно и, при этом все переменные, кроме , считаются постоянными.

Примеры.

10. ; Тогда

20. ;

30. Þ ;

; .

 

Дифференцируемые функции. Дифференциал.

Т0. Если для функции существуют частные производные в некоторой окрестности точки Р0, и непрерывны в Р0, то , где - бесконечно малые величины.

Δ. =

= +

+ +

+ . Имеем сумму частных приращений. По формуле конечных приращений для функции одного переменного получаем: =

= .

При получим:

. ▲.

 

Def: Функция называется дифференцируемой в точке Р0, если возможно представление: , (*)

где – константы, а при . Полагая в (*) (если оно выполнено) все , кроме , получим:

Þ .

Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р0:

.

Def: Главная линейная часть приращения называется дифференциалом функции в точке Р0 и обозначается



,

а величины называются частными дифференциалами.

Если дифференцируема, то

Тогда

Для независимых переменных и .

 

Пример. .

Пример (контрпример).

Δ. Рассмотрим ; Мы уже рассматривали эту функцию и установили, что в Р0(0, 0) она непрерывна. Далее: .

Так как , то и, следовательно, функция имеет в (0,0) частные производные.

Однако, формула не имеет места.

В самом деле: и не стремится к 0. Связано это с тем, что в точке Р0 не являются непрерывными:

и,кроме того, . ▲

 

Производная сложной функции.

Т0. Если – функция дифференцируемая в точке Р0 и функции дифференцируемы в t0 , то функция дифференцируема в точке t0 и

.

Δ. =

= = .

Это и доказывает дифференцируемость функции и

. ▲

 

Без труда можно доказать и формулы для дифференцирования сложной функции и в более общем случае:

Пусть и . Тогда для справедливо: .

Примеры.

10.Пусть и . Найти и .

; .

 

20. (контрпример).Пусть и . Найти .

а) ; б) Þ .

Получили результаты, противоречащие один другому. Этот случай показывает, что формула производной сложной функции в этом случае не работает.



NB. Оказывается существование частных производных недостаточно для дифференцируемости (хотя наоборот верно). Дифференцируемость более жесткое требование, чем существование частных производных.

 

Формула конечных приращений для функции многих переменных.

=

= =

= .

Δ. Доказательство основано на возможности соединить точки и Р прямолинейным отрезком, принадлежащим области . ▲

Производная ФУНКЦИИ по направлению.

Пусть задана функция трех переменных и в пространстве задано направление . Производной функции по направлению называется .

Запишем параметрическое уравнение прямой проходящей через точки Р и Р0:

; : .

Тогда: и, значит

.

Если ввести в рассмотрение вектор то получим .

Значит , где j - угол между направлением и направлением .

Следовательно, показывает направление наискорейшего возрастания функции f, а его длина совпадает со скоростью возрастания функции в этом направлении.

 

§. Инвариантность формы 1го дифференциала при замене переменных.

Пусть , и .

Тогда и

= = =

= =

= = .

 

То есть: .

Последняя формула выражает свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно замены переменных.

 

Производные высших порядков.

Определение производной более высокого порядка, чем первый, можно дать индуктивно. Обозначения для высших производных: .

Пример:

10. Найти частные производные первого и второго порядка функции .

Производные первого порядка: ; ; .



Производные второго порядка:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Производные называются вторыми одноименными производными.

Обозначение обозначает, что от функции производная бралась вначале по , а затем по , а при нахождении наоборот, вначале по , а затем по .

Обратим внимание на совпадения соответствующих вторых смешанных производных:

.

Возникает вопрос: случайно ли это совпадение?

 

20. Рассмотрим функцию, заданную соотношениями:

и .

Функция непрерывна в (0,0) т.к. и, следовательно, .

 

а) Þ . б) Þ .

 

в) .

Если в положить х = 0, получим, Þ в (0,0).

г) .

Полагая y = 0, получим, Þ в (0,0).

Получили, что в точке (0,0). Смешанные производные в точке (0,0) не совпадают.

Итак, вторые смешанные производные не всегда совпадают. А когда?

 

Т°. Пусть определена в открытой области и в этой области, существуют , а также и, наконец, непрерывны в некоторой точке . Тогда: .

Δ. Рассмотрим .

а). Введем вспомогательную функцию . Эта функция дифференцируема: и, следовательно, непрерывна.

Учитывая это, получим:

= = =…

Дважды применим формулу конечных приращений:

…= = .

 

б) Введем . Тогда аналогично получаем, что

.

Устремим и воспользовавшись непрерывностью в точке получаем: . ▲

 

В общем случае:

Т0. Пусть определена в открытой области евклидового пространства Еn и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-1)го порядка включительно и смешанные производные nго порядка, причем все производные непрерывны в области . Тогда значение любой nй смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование. Δ▲.

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.