Производные высших порядков.
РАЗДЕЛ 9. Дифференцирование функций
Многих переменных.
Частные производные и частные дифференциалы.
Задана функция переменных . Частными приращениями функции называются: .
Частной производной функции по переменной называется: .
Обозначения для частных производных:
Вычисление частной производной по переменной производится как обычно и, при этом все переменные, кроме , считаются постоянными.
Примеры.
10. ; Тогда
20. ;
30. Þ ;
; .
Дифференцируемые функции. Дифференциал.
Т0. Если для функции существуют частные производные в некоторой окрестности точки Р0, и непрерывны в Р0, то , где - бесконечно малые величины.
Δ. =
= +
+ +
+ . Имеем сумму частных приращений. По формуле конечных приращений для функции одного переменного получаем: =
= .
При получим:
. ▲.
Def: Функция называется дифференцируемой в точке Р0, если возможно представление: , (*)
где – константы, а при . Полагая в (*) (если оно выполнено) все , кроме , получим:
Þ .
Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р0:
.
Def: Главная линейная часть приращения называется дифференциалом функции в точке Р0 и обозначается
,
а величины называются частными дифференциалами.
Если дифференцируема, то
Тогда
Для независимых переменных и .
Пример. .
Пример (контрпример).
Δ. Рассмотрим ; Мы уже рассматривали эту функцию и установили, что в Р0(0, 0) она непрерывна. Далее: .
Так как , то и, следовательно, функция имеет в (0,0) частные производные.
Однако, формула не имеет места.
В самом деле: и не стремится к 0. Связано это с тем, что в точке Р0 не являются непрерывными:
и,кроме того, . ▲
Производная сложной функции.
Т0. Если – функция дифференцируемая в точке Р0 и функции дифференцируемы в t0 , то функция дифференцируема в точке t0 и
.
Δ. =
= = .
Это и доказывает дифференцируемость функции и
. ▲
Без труда можно доказать и формулы для дифференцирования сложной функции и в более общем случае:
Пусть и . Тогда для справедливо: .
Примеры.
10.Пусть и . Найти и .
; .
20. (контрпример).Пусть и . Найти .
а) ; б) Þ .
Получили результаты, противоречащие один другому. Этот случай показывает, что формула производной сложной функции в этом случае не работает.
NB. Оказывается существование частных производных недостаточно для дифференцируемости (хотя наоборот верно). Дифференцируемость более жесткое требование, чем существование частных производных.
Формула конечных приращений для функции многих переменных.
=
= =
= .
Δ. Доказательство основано на возможности соединить точки и Р прямолинейным отрезком, принадлежащим области . ▲
Производная ФУНКЦИИ по направлению.
Пусть задана функция трех переменных и в пространстве задано направление . Производной функции по направлению называется .
Запишем параметрическое уравнение прямой проходящей через точки Р и Р0:
; : .
Тогда: и, значит
.
Если ввести в рассмотрение вектор то получим .
Значит , где j - угол между направлением и направлением .
Следовательно, показывает направление наискорейшего возрастания функции f, а его длина совпадает со скоростью возрастания функции в этом направлении.
§. Инвариантность формы 1го дифференциала при замене переменных.
Пусть , и .
Тогда и
= = =
= =
= = .
То есть: .
Последняя формула выражает свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно замены переменных.
Производные высших порядков.
Определение производной более высокого порядка, чем первый, можно дать индуктивно. Обозначения для высших производных: .
Пример:
10. Найти частные производные первого и второго порядка функции .
Производные первого порядка: ; ; .
Производные второго порядка:
; ; ;
; ; ;
; ; .
Производные называются вторыми одноименными производными.
Обозначение обозначает, что от функции производная бралась вначале по , а затем по , а при нахождении наоборот, вначале по , а затем по .
Обратим внимание на совпадения соответствующих вторых смешанных производных:
.
Возникает вопрос: случайно ли это совпадение?
20. Рассмотрим функцию, заданную соотношениями:
и .
Функция непрерывна в (0,0) т.к. и, следовательно, .
а) Þ . б) Þ .
в) .
Если в положить х = 0, получим, Þ в (0,0).
г) .
Полагая y = 0, получим, Þ в (0,0).
Получили, что в точке (0,0). Смешанные производные в точке (0,0) не совпадают.
Итак, вторые смешанные производные не всегда совпадают. А когда?
Т°. Пусть определена в открытой области и в этой области, существуют , а также и, наконец, непрерывны в некоторой точке . Тогда: .
Δ. Рассмотрим .
а). Введем вспомогательную функцию . Эта функция дифференцируема: и, следовательно, непрерывна.
Учитывая это, получим:
= = =…
Дважды применим формулу конечных приращений:
…= = .
б) Введем . Тогда аналогично получаем, что
.
Устремим и воспользовавшись непрерывностью в точке получаем: . ▲
В общем случае:
Т0. Пусть определена в открытой области евклидового пространства Еn и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-1)го порядка включительно и смешанные производные nго порядка, причем все производные непрерывны в области . Тогда значение любой nй смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование. Δ▲.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|