Классификация множеств высказываний по истинностным значениям

Элементы исчисления высказываний

Язык логики высказываний

Алфавит – содержит все символы языка;

Синтаксис - определяет, каким образом из символов формируются высказывания;

Семантика – определяет правила интерпретации высказываний путем приписывания значений символам алфавита.

Алфавит языка логики высказываний состоит:

1) из пропозициональных символов: ;

2) из логических связок: ;

3) из запятой и скобок: , ().

Синтаксис

Выражение - произвольная последовательность символов, принадлежащих алфавиту языка

Определение 1. (высказывания) или формулы.

1. Пропозициональные символы являются высказываниями и называются атомами.

2. Если s и t — высказывания, то выражения (sÙt), (sÚt), (s®t), (s«t), (Øt) – также являются высказываниями (их называют составными высказываниями).

3. Выражения, построенные в соответствии с пунктами 1 и 2, и только они являются высказываниями.

Пример

1. Выражение ((Ø(АÙB))®C) является высказыванием.

2. Следующие выражения не являются высказываниями:

Ø

Ù®A

(AÙB

Приоритет логических связок(по убыванию слева-направо): Ø, Ù Ú, «, ®

Семантика

t, f – истинностные значения. Семантика описывает способы определения истинностных значений высказываний.

Определение 2. Означиванием назовем произвольную функцию F: Q ® {t, f}

где Q — множество атомов языка.

Булева алгебра

Пусть Ø , Ù , Ú , ® , « - алгебраические операции, определенные над значениями {t,f}. Результат выполнения операций определяется таблицами истинности:

Структура ({t,f}, Ø, Ù, Ú) называется двузначной булевой алгеброй.

Определение 3. (Истинностного означивания) Пусть S — множество высказываний. Истинностным означиванием называется функция

V: S ® {t,f}

такая, что для произвольных s, t Î S верно:

а) если s - атом, то V(s)Î{t, f}

б) V(Øs) = ØV(s)

в) V(sÙt) = V(s)ÙV(t)

г) V(sÚt) = V(s)ÚV(t)

д) V(s®t) = V(s)®V(t)

е) V(s«t) = V(s)«V(t)

Т.о. означивание приписывает истинностное значение (t или f) атомам языка. Истинностное означивание является расширением означивания на множество высказываний языка.

Классификация высказываний по истинностным значениям

Определение. Высказывание s называется логически истинным или тавтологией ( s), если для каждого истинностного означивания V верно, что V(s)=t.

Определение. Высказывание s не является тавтологией ( s), если существует истинностное означивание V, такое, что V(s) = f.

Определение. Высказывание s называется выполнимым или подтверждаемым, если существует истинностное означивание V: V(s) = t.

Определение. Высказывание s называется логически ложным (невыполнимым или противоречием), если для любого истинностного означивания V верно, что V(s) = f.

Определение. Высказывания s и t называются логически эквивалентными (sºt), если для любого истинностного означивания V верно, что V(s) = V(t).

Следствия.

( s) Û Øs - является противоречием

( s) Þ s - выполнимо (обратное неверно)

Таблицы истинности(Использование таблиц истинности для классификации высказываний)

Пример.Классифицировать следующее высказывание: ((A®B)®A)®A

Ответ. Высказывание ((A®B)®A)®A является тавтологией

Задание 1. Классифицировать следующие высказывания

Классификация множеств высказываний по истинностным значениям

Определение. S – множество высказываний. Высказывание s называются логическим следствием S (S s), если для любого истинностного означивания V такого, что "jÎS и V(j)=t, верно, что V(s) = t.

Определение. Множество высказываний S непротиворечиво (подтверждаемо, выполнимо), если существует истинностное означивание V такое, что "jÎS V(j)=t.

Определение. Множество высказываний S противоречиво (неподтверждаемо, невыполнимо), если для любого истинностного означивания V существует jÎS такое, что V(j)=f.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: