Закон парности касательных напряжени

Вырежем из тела параллелепипед с размерами dx × dy × dz. Пусть на верхней грани этого параллелепипеда действуют касательное напряжения . Поперечная сила, действующая на этой грани будет: . где dx × dz = А — площадь горизонтальной грани параллелепипеда, мм²

Так как параллелепипед находится внутри тела (бруса) в равновесии, то , следовательно, на шишей грани рассматриваемого параллепипеда будет действовать такая же сила dQ, но направленная в противоположную сторону. Образовавшаяся пара сил (dQ;dQ) будет стремиться вращать параллелепипед против часовой стрелки. Момент этой пары: M(dQ;dQ) = dQ ×dy. Так как параллелепипед находится утри тела в равновесии, то следовательно, пара сил (dQ;dQ) будет уравновешиваться какой-то другой парой с моментом, равным моменту первой пары. Значит, вторая пара образуется касательными напряжениями , действующими на боковых (правой и левой) гранях параллелепипеда, причём: где - площадь вертикальной боковой грани параллелепипеда. Тогда Ho и Тогда

Откуда r = r'- закон паѵности касательных напряжений, который читается:касательные напряжения, возникающие в двух взаимно перпендикулярных гранях (площадках) равны по модулю, перпендикулярны их обшемѵ ребру и направлены или оба к ребру либо оба от ребра.

44. Деформации и закон Гука при сдвиге

Рассмотрим элемент бруса в виде параллелепипеда abcd, жёстко защемлённого одной гранью, а на свободной грани элемента действуют только касательные напряжения τ.

Сдвиг выражается перекашиванием прямых углов за счёт поступательного перемещения грани bc по отношению к неподвижной грани ad.

Нагружение сдвиг характеризуется углом у, который называют углом сдвига. Это относительная деформация (относительный сдвиг), так как угол сдвига у не зависит от расстояния l, на котором происходит сдвиг.

.Единицы измерения - рад.

Величину bb₁, на которую смещается подвижная грань относительно неподвижной, называют абсолютным сдвигом.

Напряжения и деформации при сдвиге связаны законом Гука при сдвиге-, касательные напряжения при сдвиге прямо пропорциональны относительному сдвигу:

где G - коэффициент пропорциональности, характеризующий жёсткость при сдвиге и называется модулем сдвига или модулей упругости второго рода.

Единицы измерения G - МПа. Значение G. МПа, для некоторых материалов: чугун - 4,5-10⁴МПа, медь-(4,0... 4,9)·10⁴МПа алюминий - (2,6 .. .2,7) • 10⁴МПа

сталь 8,1·10⁴МПа латунь(3,5...3,7)·10⁴МПа дерево 0,055·10⁴МПа

Между тремя упругими постоянными Е, G и µ для одного и того же существует зависимость: .

Зная Е и µ, можно определить G.Например, для стали µ≈0,25 тогда: ..

45.Деформации при кручении

Рассмотрим кручение круглого цилиндра, жёстко защемленного одним концом и

нагруженного на

другом скручивающим моментом М.

Ось цилиндра называют осью кручения - она остаётся прямолинейной.

Рассмотрим образующую цилиндра АВ, которая при кручении превращается в винтовую линию. Точки, принадлежащие образующей АВ, сдвинутся на некоторый угол (рад).

Угол называют углом сдвига - это относительная деформация при кручении, которая не зависит от расстояния сечения до заделки.

Дуга ВВ₁-абсолютный сдвиг образующей: . где R - радиус цилиндра, м; - полный угол закручивания или угол закручивания концевого сечения, рад. Угол и дуга BB₁ зависят от расстояния сечения до заделки и являются абсолютной деформацией при кручении.

Таким образом, деформация кручения бруса круглого поперечного сечения заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения.

Напряжение при кручении.

Если рассмотрим любую ячейку сетки бруса, например, Аkтп, то она при деформации перекашивается, то есть наблюдается картина, аналогичная сдвигу.

Таким образом, при кручении возникает сдвиг в результате вращательного движения одного поперечного сечения бруса относительно другого. Следовательно, при кручении в поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения τ.

Применим закон Гука при сдвиге: .

Если для бруса = const, то касательные напряжения прямо

пропорциональны расстоянию волокна (точки) от оси кручения р.

При = 0 τ = О, то есть на оси кручения касательные напряжения равны нулю.

При то есть

касательные напряжения в поперечном сечении бруса достигают максимального значения у волокон. наиболее удалённых от оси бруса, то есть на поверхности бруса.

Из эпюры распределения касательных напряжений по высоте сечения видно, что на внутренних волокнах бруса касательные напряжения τ небольшие, поэтому валы можно делать полыми (в виде кольца), что облегчает вал и даёт экономию материала без существенного снижения прочности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: