Предел и непрерывность функции.

Дифференциальное исчисление функции одной переменнойи нескольких переменных

Методические указания и задания

Для выполнения типового расчета

По курсу «Математика»

Направление подготовки

Продукты питания из растительного сырья

Саратов 2013

Дифференциальное исчисление функции одной переменной:метод. указания и задания для выполнениятипового расчета по курсу «Математика» для направления подготовки 260100.62 Продукты питания из растительного сырья / сост. Н.В. Дьяконова //ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ».- Саратов, 2013.-

Методические указания и задания для выполнения типового расчета по дисциплине «Математика» составлены в соответствии с программой и предназначены для студентов направления подготовки 260100.62 Продукты питания из растительного сырья, 221400.62 Управление качеством. Они содержат рекомендации, примеры и задания к выполнению типового расчета. Позволяют студентам освоить основные математические методы, необходимые для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач, обучает методам обработки и анализа результатов эксперимента. Курс нацелен на формирование ключевых компетенций, необходимых для эффективного решения профессиональных задач и организации профессиональной деятельности.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Работа выполняется на листах формата А4 (210х297), которые затем скрепляются.

2. Решение заданий следует сопровождать краткими пояснениями.

3. Исходные данные для заданий типового расчета представлены в таблицах. Из таблицы каждый студент выбирает строки с номерами вариант, которые соответствуют номеру в списке группового журнала.

1. Функция. Способы задания функции.
   Основные элементарные функции.

Определение 4.1. Если каждому значению переменной , при надлежащему некоторой области, соответствует одно определённое значении другой переменной , то есть функция от или, , .

Переменная называется независимой переменной или аргументом.

Определение 4.2. Совокупность значений , для которых определяются значения функции в силу правила называется областью определения функции ( или областью существования функции ).

Пример1: Функция определена при всех значениях . Следовательно, её областью определения будет бесконечный интервал .

Определение 4.3.Если функция такова, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция.

Основными способами задания функции являются: табличный, графический, аналитический.

К основным элементарным функциям относят следующие, аналитическим способом заданные функции:

1. Степенная функция: , где - действительное число;
2. Показательная функция: , где - положительное число, не равное единице;
3. Логарифмическая функция: , где - положительное число, не равное единице;
4. Тригонометрические функции: , , , , , .
5. Обратные тригонометрические функции: , , , , , .

Определение 4.4. Функция называется периодической, если существует такое постоянное число C, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу значение функции не изменяется: .

Наименьшее такое число называется периодом функции.

Пример №2. Найти область определения функции .

Решение: Областью определения функции является отрезок , т.к. при , следовательно, функция не определена при этих значениях . Графиком этой функции является верхняя половина окружности с центром в начале координат и радиусом единица.

Задания: Найти область определения функции:

1) ( Ответ: );

2) ( Ответ: );

3) ( Ответ: );

4) ( Ответ: ).

Предел и непрерывность функции.

Определение 4.5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределу в при , стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство . Если есть предел функции при , то пишут: .

Определение 4.6. Функция называется непрерывной при значении ( или в точке ), если она определена в некоторой окрестности точки и если

Определение 4.7. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Свойства пределов.

Теорема 1:Предел алгебраической суммы двух, трёх и вообще определённого числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

Пример №3

Теорема 2: Предел произведения двух, трёх или вообще определённого числа переменных равен произведению пределов этих переменных

Пример №4 .

Теорема 3: Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля: .

Пример №5

Пример №6Найти

Здесь знаменатель и числитель при стремится к нулю, и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведём следующее тождественное преобразование:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Задания: Вычислить указанные пределы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: