Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4. , ,

5. Если первообразная для , тогда

,

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ;

2.

3.

4.

5.

6.

7. ,

8.

9. ,

10. ,

11.

12.

13.

14.

Интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями, например:

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов путем использования таблицы основных неопределенных интегралов, их свойств, а также тождественных преобразований подынтегрального выражения.

Пример1. Найти .

Решение.

Пример2. Найти .

Решение. Воспользуемся свойством 5:

= .

Пример3. Найти. .

Решение. Воспользуемся формулами тригонометрии:

= .

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Все формулы таблицы основных интегралов справедливы, когда переменная интегрирования не является независимой, а представляет функцию от некоторой другой переменной: .

Тогда или .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Так как ,

то = .

Здесь мы применили формулу 1 таблицы интегралов.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Заметим, что , тогда имеем:

= .

Замена переменой в неопределенном интеграле

Замена переменной или метод подстановки, состоит в том что, при вычислении интеграла вместо переменной вводится новая переменная , связанная с определенной зависимостью: . При этом функцию следует выбирать так, чтобы подынтегральная функция становилась более удобной для интегрирования.

Введем новую переменную , где функция определена и дифференцируема. Тогда будет справедлива формула

= .

Пример6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , а затем продифференцируем это равенство: .

= = .

Пример7. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку , тогда .

= .

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы на интервале , то .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.

Метод интегрирования по частям применяется при вычислении следующих интегралов:

А) , , , где - многочлен степени n. В этих интегралах за принимается и интегрируется по частям n раз.

В) , , , , .

В этих интегралах за принимается .

Пример 8. Вычислить .

Решение. Положим , тогда ,

и по формуле интегрирования по частям получаем:

= .

Пример 9. Вычислить .

Решение. Положим .

Отсюда . Используя формулу интегрирования по частям, имеем:

= .

Пример 10. Вычислить .

Решение. Примем , тогда

. Окончательно получаем:

= .

Пример11. Вычислить .

Решение. Сделаем предварительные преобразования:

, отсюда

= .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов:

,

где, m, n – целые положительные числа, - действительные числа ( ).

Если , то называется правильной рациональной дробью, если - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления на можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

,

где , - многочлены; - правильная рациональная дробь

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:

где, A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – натуральное число .

В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:

,

то в разложении самой дроби:

а) каждому множителю вида соответствует одна простейшая дробь вида ;

б) каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей вида:

;

в) каждому множителю соответствует одна простейшая дробь вида .

Пример12. Найти интеграл .

Решение. Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:

При :

При :

При :

При :

Подставив значение , находим: , , .

Поэтому:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: