Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости

При рассмотрении движения жидкости считают, что в потоке жидкость сплошь заполняет занимаемое ею пространство без образования пустот, т.е. движение жидкости происходит неразрывно. В этом случае справедливо уравнение неразрывности движения, выводимое на основе закона сохранения массы. Получим вначале уравнение неразрывности при установившемся движении жидкости для элементарной струйки.

Пусть имеем элементарную струйку (рис. 3.4). Возьмем сечение 1-1 с площадью искоростью движения частиц жидкости υ₁. Элементарный расход через сечение 1-1 по формуле равен

Рис. 3.4. Элементарная струйка

Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью υ₁. Элементарный расход через сечение 2-2 равен

Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен; кроме того, в отсеке 12, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей н единицу времени через сечения 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е. . Принимая во внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать

,

или

. (3.1)

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки, которое читается так: элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.

Пусть теперь имеем поток жидкости (рис. 3.5, стр. 109). Взяв в потоке два произвольных сечения 1-1 и 2-2 и представив живые сечения их состоящими из суммы элементарных струек, можно написать –расход жидкости в начальном сечении; – расход жидкости в конечном сечении.

Но поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока, то в отсек между сечениями через боковую поверхность движения жидкости не происходит; не изменяется и объем отсека. Следовательно, в отсек через начальное сечение поступает столько же жидкости, сколько за то же время выходит . Но так как сечения взяты произвольно, то можно написать, что или, выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость v, получим

. (3.2)

Рис.3.5. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе

Это и есть уравнение неразрывности для потока жидкости, которое читается так: расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная. Из уравнения (3.2) для двух сечений можно написать

, (3.3)

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

Уравнения Навье-Стокса

Уравнения Навье-Стокса – система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье-Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

· уравнения движения,

· уравнения неразрывности.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

(3.4)

где – оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, t – время, ν – коэффициент кинематической вязкости, ρ – плотность, p – давление, – векторное поле скоростей, – векторное поле массовых сил. Неизвестные p и являются функциями времени t и координаты , где , n = 2,3 – плоская или трехмерная область, в которой движется жидкость.

Система является математической моделью неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. В общем виде эти уравнения не могут быть решены, так как невозможно определить граничные условия в неустановившемся движении вязкой жидкости. На учете этих уравнений базируются все практические решения вопросов движения жидкости, в том числе и сквозь зернистые слои. Эти решения становятся возможными при использовании метода подобия, позволяющего из класса явлений выделить группу подобных между собой, на которые распространяются эмпирические зависимости. В этом случае математическая модель, представленная в форме дифференциальных уравнений, служит основой анализа происходящих явлений.

Обычно в систему уравнений Навье-Стокса добавляют краевые и начальные условия, например

Иногда в систему уравнений Навье – Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнение Навье – Стокса принимает следующий вид:

где μ – коэффициент динамической вязкости, ζ – «вторая вязкость».

При решении систем уравнений Навье-Стокса необходимо учитывать ее особенности:

1. При превышении числа Рейнольдса выше некоторого критического числа, аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока имеют хаотический вид (так называемая турбулентность). В частном случае, оно связано с теорией Фейгенбаума или другими сценариями перехода к хаосу. При уменьшении числа Рейнольдса ниже критического, решение опять принимает не хаотический вид.

2. Исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

3. Существует мнение, что данное уравнение является приближенным. Это обосновывается использованием при выводе уравнения Навье-Стокса линейного уравнения для нахождения давления p, как функции его нелинейных компонентов. Такая позиция обьясняет существование различных значений числа Рейнольдса (для различных частных задач), в пределах которого линейный закон осреднения корректен.

Одним из применений системы уравнений Навье – Стокса является описание течений в мантии Земли («проблема динамо»).

Вариации уравнения Навье – Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные модели турбулентности, упрощающие расчёт реальных потоков.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: