Гидравлические сопротивления, их физическая

Закон Архимеда

Применим указанный выше прием нахождения вертикальной силы давления жидкости на криволинейную стенку для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость помещено тело произвольной формы (рис. 1.10) объемом V.

Рис. 1.10

Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Вертикальная составляющая силы полного давления жидкости P_z1, действующая на верхнюю часть тела равна

,

(1.52)

а на нижнюю часть тела

,

(1.53)

Все горизонтальные силы, действующие на тело, уравновешены. Совершенно очевидно, что P_z2 > P_z1 и, следовательно возникает выталкивающая сила

,

(1.54)

где V – объем тела.

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу жидкости в объеме тела.

В зависимости от соотношения веса тела G и силы P_z (архимедовой силы) возможны, как известно, три случая:

1. G>P_z – тело тонет;

2. G<P_z – тело всплывает;

3. G=P_z – тело в безразличном состоянии.

Глава 2. Основы кинематики и динамики жидкости

2.1. Методы описания движения жидкостей

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и применение этих законов к решению практических задач.

Существуют разные способы описания движения жидкости, из которых наибольшее распространение имеют методы Лагранжа и Эйлера.

При исследовании по методу Лагранжа изучается движение отдельных частиц жидкости вдоль их траекторий. Для выделения из бесчисленного множества траекторий частиц той, которая принадлежит данной частице, замечают ее координаты a, b, c в начальный момент времени t_о. Все последующие координаты x, y, z и скорости v_x, v_y, v_z зависят от начальных координат

		(2.1)
		(2.2)

По методу Эйлера определяют скорости и давление жидкости в той или иной точке пространства

(2.3)

В гидравлике наибольшее распространение получил метод Эйлера в связи с тем, что он проще метода Лагранжа.

Итак, для описания и изучения движения жидкости необходимо найти скорость и давление в любой интересующей нас точке потока

(2.4)

Существуют два вида движения жидкости – неустановившееся, когда скорости и давление зависят от координат и времени, и установившееся, когда указанные параметры не зависят от времени.

В дальнейшем будем рассматривать, как правило, установившееся движение жидкости. Установившееся движение, при котором частицы жидкости сохраняют свою скорость одинаковой по длине потока, называется равномерным.

На практике встречаются следующие виды потоков – напорные, безнапорные, струи. Напорные потоки – это такие потоки, когда все поперечное сечение трубы, канала заполнено жидкостью. Движение здесь осуществляется под напором, создаваемым тем или иным источником энергии.

Безнапорные потоки – это потоки, имеющие свободную поверхность. Такое движение осуществляется в каналах, руслах рек, трубопроводах, работающих неполным сечением. Движение жидкости здесь осуществляется за счет сил тяжести.

Струи – это потоки, имеющие свободную поверхность по всему периметру сечения. Движение здесь осуществляется за счет сил инерции.

2.2. Понятие о струйчатой модели потока

В гидравлике для изучения закономерностей движения жидкости широко используется струйчатая модель потока. В соответствии с этой моделью поток состоит из бесконечного множества элементарных струек. Введем понятие об элементарной струйке. Если изобразить скорость каждой частицы жидкости в пространственном потоке в виде вектора, то получим векторное поле скоростей. Проведем в этом поле линию так, чтобы векторы скорости были бы направлены по касательной к этой линии. Линия, полученная таким образом, называется линией тока (рис. 2.1).

рис. 2.1

Траекторией называется путь, описанный частицей в пространстве. При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией. При неустановившемся движении линия тока не совпадает с траекторией.

Если в движущейся жидкости взять элементарный замкнутый контур и через каждую точку этого контура провести линию тока, то получим трубку тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Сечение струйки, нормальное к ее линиям тока называется живым сечением элементарной струйки (рис. 2.2).

В силу того, что площадь сечения элементарной струйки бесконечно мала, можно считать, что в каждой точке скорости одинаковы. Трубка тока непроницаема для жидкости.

Потоком жидкости называется совокупность элементарных струек, текущих в заданных границах.

Живым сечением F называется поверхность, проведенная в границах потока и нормальная ко всем линиям тока.

Смоченным периметром c называется часть периметра живого сечения, соприкасающаяся с ограждающими стенками.

Гидравлический диаметр D_г представляет собой отношение учетверенной площади живого сечения к смоченному периметру.

Гидравлический радиус R_г – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру

; .

(2.5)

Количество жидкости, проходящей через живое сечение, в единицу времени называется расходом.

Различают:

Скорости различных струек в потоке различны и поэтому расход потока складывается из элементарных расходов струек

.

(2.7)

Интеграл (2.7) не берется, так как не известен закон распределения скоростей по сечению потока.

Введем понятие средней скорости

.

(2.8)

Таким образом, средняя скорость потока равна частному от деления объемного расхода жидкости на площадь живого сечения потока.

Введя понятие о расходе жидкости легко получить уравнение неразрывности – одно из основных уравнений гидравлики. Будем рассматривать жидкость как сплошную среду, не имеющую при движении разрывов и пустот в потоке. Для элементарной струйки условие неразрывности можно записать следующим образом (рис. 2.2):

.

(2.9)

рис. 2.2

Для потока жидкости

.

(2.10)

Отсюда

.

(2.11)

Уравнение (2.10) является уравнением неразрывности для потока несжимаемой жидкости. Если же речь идет о сжимаемой жидкости, то уравнение неразрывности будет иметь вид

,

(2.12)

где ρ₁ и ρ₂ – плотности жидкости в сечениях 1 и 2.

2.3. Дифференциальные уравнения Эйлера

для движения идеальной жидкости

Идеальной жидкостью называется жидкость абсолютно несжимаемая, обладающая абсолютной подвижностью частиц и не имеющая вязкости. Анализ движения такой жидкости позволит выяснить основные закономерности, которые после учета сил трения дадут возможность производить расчеты потока.

рис. 2.3

На грань 1234 действует сила

.

(2.13)

На грань 5678

.

(2.14)

Массовая сила G в проекции на ось х запишется следующим образом

,

(2.15)

где Х – проекция ускорения массовой силы на ось х.

Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. Изменение количества движения массы жидкости, сосредоточенной внутри объема, происходит вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость меняется во времени.

Введем импульс массовых сил в проекции на ось х

.

(2.16)

Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения:

.

Следовательно

.

(2.17)

Аналогично для других осей

	,	(2.18)
	.

Таким образом получим дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

		(2.19)

Уравнения (2.19) показывают, что ускорение жидкого элемен­та вызывается соответствующими изменениями сил давления, дейст­вующих на этот элемент, и массовыми
силами.

Уравнения Эйлера могут быть при известных условиях проинтег­рированы. Пусть имеет место стационарное течение. Умножим левую и правую часть каждого уравнения соответственно на dx , dy, dz и произведём почленное сложение:

.

(2.20)

Предположим, что в жидкости действуют только силы тяжести. Тогда

(2.21)

Для установившегося движения, когда p=f(x,y,z)

.

(2.22)

Так как , то

.

(2.23)

Итак, дифференциальное уравнение (2.20) примет вид

.

(2.24)

Или

.

(2.25)

Отсюда интеграл примет вид

.

(2.26)

Это выражение представляет собой уравнение (интеграл) Бернулли для установившегося течения струйки несжимаемой жид­кости. В этом уравнении – геометрический и пьезометрический напоры, – скоростной или динамический напор.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, сумма скорост­ного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4

Известно, что представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, а величина – удельную кинетическую энергию. Исходя из этого уравнение Бернулли устанавливает постоянство суммы удельных кинетической и потенциальной энергий идеальной жидкости в установившемся движении и является частным случаем закона сохранения энергии.

2.4. Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Полученное выше уравнение Бернулли при определённых услови­ях можно распространить на поток реальной жидкости. Рассмотрим так называемое плавно изменяющееся движение жидкости, у которо­го наблюдается параллельно-струйное движение и давление по се­чению потока распределяется по гидростатическому закону ( =const).

Как известно, полная удельная энергия элементарной струйки

.

(2.27)

Умножим левую и правую части уравнения (2.27) на весовой рас­ход струйки r×g×v×dF, тогда полная энергия, которую переносит элементарная струйка через сечение dF в единицу времени будет

.

(2.28)

Если проверить размерности, то убедимся, что в левой и правой частях уравнения (2.28) будет размерность мощности. В силу того, что поток состоит из бесконечного множества элементарных струек, мощность потока в любом сечении будет

.

(2.29)

Разобьём интеграл в правой части (2.29) на два

.

(2.30)

Так как давление по сечению изменяется по гидростатическому закону, то

.

(2.31)

Рассмотрим второй интеграл и представим его в следующем виде

.

(2.32)

Интеграл (2.32) не берётся, так как не известен закон рас­пределения скоростей по
сечению потока. Этот интеграл представ­ляет собой действительную кинетическую энергию, переносимую потоком через данное поперечное сечение в единицу времени (обоз­начим её К_д).

Предположим, что скорости в каждой точке поперечного сече­ния потока одинаковы и равны средней скорости . Тогда кинетическая энергия (К_у), подсчитанная по средней скорости будет

.

(2.33)

Обозначим

.

(2.34)

Тогда

.

(2.35)

Коэффициент a носит название: коэффициент неравномер­ности распределения скоростей по сечению или коэффициент ки­нетической энергии. Он представляет собой отношение действи­тельной кинетической энергии весового секундного расхода по­тока, к его кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Величина коэффициента a определяется опытным путём. Для турбулентного режима a=1,1, а для ламинарного a=2.

Подставляя значения интегралов (2.31) и (2.35) в (2.30), получим:

.

(2.36)

Разделим левую и правую части (2.36) на весовой расход потока rgQ и получим

,

(2.37)

где Н – полная удельная энергия жидкости, протекающей через рассматриваемое живое сечение потока в единицу времени, или полный напор в данном сечении.

Полученное выражение справедливо для любого сечения потока и, если составить баланс энергий для двух сечений потока, то получим

где h_w – потеря энергии между сечениями I и 2. ,

Следовательно, подставив в (2.38) значения , получим

.

(2.39)

Это уравнение носит название "Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости" и является основным уравнением гидравли­ки, устанавливающим баланс энергии в потоке жидкости. В дальнейшем индексы "ср" у скоростей ставить не будем, помня, что скорости в уравнении (2.39) являются средними. Заметим, что практически все расчёты потоков производятся с помощью урав­нения Бернулли.

Гидравлические сопротивления, их физическая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: