Сделай Сам Свою Работу на 5

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ





Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Для обозначения случайных величин используют заглавные латинские буквы ; возможные значения случайных величин обозначают .

Дискретные случайные величины

Определение. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Число значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Для задания дискретной случайной величины нужно указать все возможные ее значения и их вероятности. Соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, с помощью таблицы или графически.

Табличное задание носит название ряда распределения:

– условие нормировки.

Пример 1.Составить ряд распределения случайной величины – числа появлений герба при пяти бросаниях монеты.



Решение. Имеем испытания по схеме Бернулли. Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Полагая в формуле Бернулли , , , , применим ее для каждого значения :

, , ,

, , .

Для наглядного представления закона распределения строят многоугольник распределения – ломаную соединяющую точки на плоскости с координатами .

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения

тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством

.

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

.

Пример 2. Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

0,2 0,3 0,5

Решение. .●



Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

1.о Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

2.о Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3.о Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

4.о Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна иравна .

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Дисперсия

Математическое ожидание не характеризует случайную величину полностью. Кроме среднего значения необходимо знать рассеяние вокруг этого значения.

Пусть – случайная величина, – ее математическое ожидание.

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: .

Математическое ожидание отклонения равно нулю

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

.



Пример 2.*Найдем дисперсию дискретной случайной величины:

Решение.

4,64.●

Свойства дисперсии

1.о Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2.о Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

.

3.о Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Следствие.

4.о Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании: .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.