Теорема сложения вероятностей

Суммой событий и называют событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий.

Аналогично определяется сумма нескольких событий.

Теорема. Если и – несовместные события, то

Следствие. Если – попарно несовместные события, то

Пример 1. Среди лотерейных билетов 10 билетов с выигрышем по 100 рублей и 5 билетов с выигрышем по 500 рублей. Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?

Решение.Обозначим события – выигрыш 100 рублей, – выигрыш 500 рублей.

, .

События и несовместны, поэтому

.●

Теорема. Сумма вероятностей попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна 1:

Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Обозначение: – событие, противоположное событию .

Пример 2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение.Событие – среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная. Тогда событие – среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной.

– общее число исходов,

– число исходов благоприятствующих событию .

. ●

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.

Аналогично определяется произведение нескольких событий.

Определение. Вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило, называют условной вероятностью.

Обозначение:

Пример 3. Студент знает 25 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он знает второй вопрос в билете, если а) он знает ответ на первый вопрос, б) он не знает ответа на первый вопрос?

Решение. а) Событие – студент знает ответ на первый вопрос.

б) Событие – студент не знает ответ на первый вопрос.

.●

Теорема. Вероятность совместного появления событий и равна

Пример 3*.В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что студент знает оба вопроса в билете.

Решение. ..●

Определение. Событие называется независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , т.е.

Если и – независимые события, то

Пример 3. Студент выучил 20 билетов из 25 по математике и 17 из 20 по физике. Какова вероятность того, что он сдаст оба экзамена?

Решение. .●

Следствия из теорем сложения и умножения

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна

Пример 2*. (Условие см. выше)

Решение.События: – первая деталь стандартная, – вторая деталь стандартная.

.●

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятностьсобытия , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна

Пример 4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить классификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Решение. ,

.●

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из независимых событий , образующих полную группу. События , называют гипотезами. Тогда

Пусть событие наступило. Найдем вероятности гипотез:

Таким образом, получаем формулы Байеса, или формулы вероятностей гипотез, (1764 г.):

или

Пример 4*. (Условие см. выше). Найти вероятность того, что спортсмен, выполнивший норму, является бегуном.

Решение.

.●

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Схема Бернулли

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна– испытания в схеме Бернулли. Обозначим вероятность ненаступления события через .Очевидно, что .

Найдем вероятность того, что при испытаниях событие появится раз. Обозначим эту вероятность .

Вероятность одного события: появилось раз и не появилось раз равна

Число таких событий равно . Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности этих событий равны между собой, то их сумма равна вероятности одного события, умноженной на их число.

Полученная формула носит название формулы Бернулли.

Пример 5. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора, б) включены все моторы, в) выключены все моторы

Решение. Имеем , , .

а) по формуле Бернулли при получим

б) по формуле Бернулли при получим

в) по формуле Бернулли при получим

.●

Если число испытаний велико, то применяется локальная теорема Лапласа (1783 г.):

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие в испытаниях появится раз, приближенно равна значению функции

, где .

Функция задается таблицами для , – четная функция, т.е. .

Таким образом, получаем

при .

Пример 5. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, , , , .

Воспользуемся формулой Лапласа

По таблице находим .

.●

Интегральная теорема Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие в испытаниях появится от до раз приближенно равна

где ,

Функция Лапласа задается таблицами.

Свойства функции Лапласа.

1^о. .

2^о. При 0,5.

Таким образом, получаем

где ,

Пример 6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Решение. а) По условию, , , , .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

;

Таким образом, имеем

б) По условию, , , , .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

;

Таким образом, имеем

.●

С помощью функции Лапласа можно вычислить вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности:

Пример 7. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.

Решение.По условию, , , , .

Требуется найти вероятность .

Получим .●

Пример 8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.

Решение.По условию, , , , .

Так как , то имеем или

, .

По таблице находим, что при . Значит, и .●

123

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: