ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Вынужденными колебаниями называются колебания, происходящие под действием периодически изменяющейся внешней (вынуждающей) силы. Если первоначально колебательная система находилась в состоянии покоя, то под действием вынуждающей силы она выйдет из этого состояния. Часть энергии колебательного движения будет затрачиваться на преодоление сил сопротивления. По мере увеличения амплитуды колебаний эта часть возрастает и наступит момент, когда работа, совершаемая вынуждающей силой, станет равной убыли энергии колеблющегося тела. Начиная с этого момента, амплитуда перестанет увеличиваться, и колебания станут установившимися.

В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

. (1)

Тогда установившиеся колебания являются гармоническими и их частота равна частоте изменения вынуждающей силы.

Пусть на колеблющееся тело массой действуют возвращающая сила:

,

сила сопротивления среды:

и вынуждающая сила

.

Дифференциальное уравнение движения этого тела запишем согласно второму закону Ньютона в виде:

(2)

или, введя обозначения: и ,

, (3)

где - собственная частота колебательной системы, - коэффициент затухания, - угловая частота вынуждающей силы.

Решение этого уравнения имеет вид:

, (4)

где - сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями. Подставив в уравнение (3) выражение (4), а также первую и вторую производные от него, получим:

(5)

Из выражения (5) видно, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты изменения вынуждающей силы и при некотором её значении, близком к частоте собственных колебаний, достигает максимума.

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом. Соответствующая резонансу частота вынуждающей силы носит название резонансной частоты w_рез. В нашем случае:

, (6)

амплитуда вынужденных колебаний при резонансе:

. (7)

Из выражения (7) в частности следует, что в отсутствии затухания ( = 0) амплитуда при резонансе должна была бы обращаться в бесконечность. Однако это неверно, т.к. при больших амплитудах колебания перестают быть гармоническими, поэтому исходное уравнение (2) невозможно использовать для их описания.

Если же коэффициент затухания мал по сравнению с угловой частотой собственных колебаний системы:

,

то резонансная частота весьма близка к частоте собственных колебаний:

(8)

и амплитуда при резонансе может быть выражена в виде:

. (9)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой и представлен на рис. 1. Кривые построены для систем с одинаковой частотой собственных колебаний и различными значениями коэффициента затухания. Видно, что по мере его возрастания максимальная амплитуда уменьшается, а резонансная частота сдвигается в область малых частот в соответствии с выражением (6).

.

Пренебрегая членами высшего порядка малости и учитывая, что при малом затухании справедливо (8) и , получаем:

или

. (10)

Коэффициент затухания характеризует рассеяние энергии осциллятором в единицу времени. Потери энергии за период колебаний определяются логарифмическим декрементом затухания. Эти величины связаны соотношением:

, (11)

где - период собственных колебаний, связанный с угловой частотой:

.

Отметим, что соотношения (10) и (11) справедливы только в случае малого затухания колебаний.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Работа выполняется на установке с двумя маятниками (рис. 3). Один из них тяжелый, с большим запасом энергии и постоян­ным периодом колебаний Т, используется в качестве задающего вибратора. Другой маятник, более легкий, служит резонатором и раскачи­вается под действием толчков маятника вибратора.

Маятник-резонатор представляет собой небольшой груз Г, под­вешенный на нити. Эта нить проходит через канал в оси маятника-вибратора. На другом её конце подвешен противовес П. Противо­вес и трение нити о стенки канала оси позволяют достаточно надежно обеспечить заданную длину маятника-резонатора. В то же время это дает возможность легко менять длину маятника-резонатора, подтягивая нить за груз на одном ее конце или за противовес на другом конце нити.

Измерения начинают с установки длины маятника-резонатора, соответствующей наименьшему значению на вертикальной шкале. За­тем отклонив маятник-вибратор до деления, указанного преподава­телем, отпускают его. Толчки маятника-вибратора раскачивают маятник-резонатор. Когда его амплитуда перестанет возрастать, произ­водят отсчет её значения на горизонтальной шкале по наибольшему отклонению нити маятника.

Во избежание ошибок за счет параллакса, глаз в момент от­счета нужно располагать перпендикулярно шкале. Измерения повторяют при различной длине маятника-резонатора.

Для построения амплитудно-резонансной кривой, кроме значе­ния резонансной амплитуды, нужно определить еще не менее пяти раз значения амплитуды при различных длинах резонатора до резонанса и не менее пяти значений амплитуды после него.

ЗАДАНИЕ

I. В условных делениях снять значения амплитуды колебаний маятника-резонатора и его длину, заполнив таблицу.

2. Построить на миллиметровой бумаге резонансную кривую, откладывая по оси абсцисс длину резонатора в условных де­лениях, а по оси ординат амплитуду его колебаний в см.

3. По 20 полным колебаниям определить период колебания вибратора Т и период колебаний маятника-резонатора, соответствую­щий максимальной амплитуде, рассчитать период, пренебрегая затуханием.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Часть I.

Часть II

n= 20, A_max= , .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 12м

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Волнами называются распространяющиеся в упругой среде слабые возмущения.

Волны бывают:

1. По природе:

а) механические;

б) электромагнитные.

2. По характеру колебаний частиц в волне:

а) поперечные – волны, в которых направление колебания частиц перпендикулярно направлению распространения волны;

б) продольные – волны, в которых направление колебания частиц совпадает с направлением распространения волны.

3. По виду волновой поверхности (под волновой поверхностью понимают геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе):

а) плоские;

б) сферические.

4. По частоте:

а) звуковые (или звук) - волны, частота которых лежит в пределах слышимости человеческого уха (от 20 Гц до 20000 Гц).

б) инфразвуковые – волны, частота которых меньше 20 Гц.

в) ультразвуковые – волны, частота которых больше 20000 Гц.

Скорость звука u определяется в виде:

, (1)

где Е - упругость среды, - плотность среды. В воздухе, который при нормальных условиях можно считать идеальным газом, скорость звука равна:

, (2)

где R - газовая постоянная , Т – температура воздуха, m- молярная масса (для воздуха μ = 0,029 кг /моль) и g - показатель Пуассона (для воздуха ).

Важной характеристикой волны является длина волны l - расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе:

, (3)

где Т – период волны, n= 1/Т - частота колебаний (звука). Математическое выражение, описывающее распространение плоской волны, имеет вид:

, (4)

где x - отклонение частицы волны в некоторой точке от положения равновесия, А - амплитуда волны, - волновое число, w- циклическая частота колебаний, - расстояние от источника колебаний до данной точки среды.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Определение скорости звука осуществляется с помощью прибора, состоящего из стеклянной трубки 1 и поршня 2 (рис. 1). Рядом с трубой размещена шкала 3, по которой определяют положение поршня.

Источником звука служит электродинамический излучатель 4, подключенный к звуковому генератору. От излучателя 4 в положительном направлении оси х распространяется звуковая волна, описываемая уравнением (4). Волна, дойдя до поршня и отразившись от него, распространяется в обратном нaпpaвлении. При этом в трубе oбpaзуется стоячая волна. Перемещая поршень 2 по трубе 1, находят такое положение , при котором звук будет максимально сильным. Положение поршня отсчитывают по шкале 3. При смещении поршня от положения (максимума громкости звука) звук ослабевает, затем снова усиливается до максимума в положении . Поршень перемещается при этом на расстояние, равное половине длины волны: .

Измерив частоту колебаний генератора 5 и длину полуволны, как расстояние между двумя последовательными максимумами звука, можно вычислить скорость звука по формуле:

(5)

ЗАДАНИЕ

1. На данной частоте в пределах от 1000 Гц до 1500 Гц, заданной преподавателем, установить поршень в положение максимума звука при ближайшем расстоянии от излучателя звука. Значение занести в таблицу.

2. Перемещая поршень далее, проделать то же самое для более удаленных положений поршня x₂, x₃, соответствующих максимумам громкости звука.

3. Определить среднее значение по формуле:

.

и занести в таблицу.

4. Вычислить скорость звука по формуле (5) и записать в таблицу.

5. Повторить измерения еще для двух частот.

6. Провести обработку полученных результатов. Сравнить полученное значение скорости звука с его теоретическим значением.

РЕЗУЛЬТАТЫ:

N	n, Гц	, см	, см	, см	, см	ср, см	, м	u, м/с
1. 2. 3.

Средний результат: .

Абсолютная погрешность результата: и серии измерений:

.

Относительная погрешность серии измерений: .

Окончательный результат: м/с

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2т

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: