Операторные схемы замещения

Рассмотрим составление операторной схемы замещения на примере электрической цепи, приведенной на рис.7.2.

Рисунок 7.2

На входе этой цепи действует постоянное напряжение величиной U. Определяются величины тока в катушке индуктивности i_L и напряжение на конденсаторе u_c до коммутации.

Для их определения составляется система уравнений по законам Кирхгофа, описывающая режим работы цепи, до замыкания ключа.

(7.3)

Рассмотрим систему уравнений (7.3) с точки зрения установившегося режима, так как до начала переходного процесса в цепи наблюдается установившийся режим. При действии постоянного напряжения производные от токов и напряжений цепи будут равны нулю. С учетом последнего замечания система уравнений (7.3) принимает вид:

(7.4)

В системе уравнений (7.4) ток конденсатора принимается равным нулю, так как

Определим из системы уравнений (7.4) значение тока индуктивности и напряжения на конденсаторе.

. (7.5)

Используя таблицу 7.1 и схемы замещения, приведенные на рис.7.1, составим операторную схему замещения электрической цепи, приведенной на рис.7.2 с учетом выражений (7.5). Схема оставляется для цепи, полученной после коммутации цепи (рис.7.3).

Рисунок 7.3

В полученной электрической цепи действуют три источника энергии: независимый источник энергии, включенный на входе цепи, величиной U/p, и два источника, учитывающие энергию, запасенную в реактивных элементах цепи, до коммутации

величиной Li_L(-0) и U_c(-0) /p.

Составление операторных решений

Рассмотрим порядок составления операторных решений на примере электрической цепи, приведенной на рис. 7.4.

Составление операторных решений включает в себя описание предлагаемой схемы известными методами расчета цепей: применение законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного генератора.

Рисунок 7.4

После выбора рационального метода расчета определяются операторные изображения токов в ветвях и напряжений на элементах цепи.

Составим уравнение по методу контурных токов для цепи, приведенной на рис. 7.4. Выберем направления контурных токов и направлений обхода контуров по часовой стрелке.

. (7.6)

Найдем операторные выражения для контурных токов. Выразим из первого уравнения системы (7.6) ток .

. (7.7)

Подставим выражение (7.7) во второе уравнение системы уравнений (7.6) и выразим ток .

. (7.8)

После несложных преобразований получим операторное изображение тока .

. (7.9)

Определим операторные изображения для токов ветвей цепи.

, ,

. (7.10)

Рассмотрим выражения (7.8), (7.9) и (7.10). Знаменатели этих выражений получились одинаковыми или отличаются на множитель p. При нахождении операторных изображений токов в ветвях и напряжений на элементах цепи знаменатели должны получаться одинаковыми или могут отличаться на оператор p.

Определение оригиналов

Если полученное операторное изображение тока и напряжения имеет табличный вид, то нахождение оригинала осуществляется с помощью таблицы 7.1. Если полученная функция не имеет табличного вида, то переход к оригиналу осуществляется при помощи теоремы разложения.

В этом случае полученную функцию I(p) или U(p) представляют в виде отношения двух многочленов.

. (7.11)

Определяются корни уравнения M(p)=0. В зависимости от вида корней знаменателя теорема разложения может иметь следующие формы:

1. Если корни уравнения M(p)=0 разные и среди них нет корней равным корням уравнения N(p)=0, то оригинал тока i(t), соответствующий изображению (7.11), может быть найден согласно теореме разложения:

, (7.12)

где m – число корней знаменателя M(p)=0.

2. Если в уравнении M(p)=0 имеется n различных корней p₁, p₂,… , p_nи из них корень p₁ кратностью m₁, корень p₂ кратностью m₂, то оригинал тока будет вычисляться по формуле:

. (7.13)

Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на (p-p_k)^m_kи лишь после этого дифференцировать. Второй путь предполагает представление операторного изображения I(p) или U(p) в виде простых дробей. Переход к оригиналу для суммы простых дробей может быть осуществлен при помощи таблиц оригиналов и изображений.

3. Если среди n корней имеется пара комплексных сопряженных корней ; то теорема разложения может быть представлена в следующем виде:

. (7.14)

Найдем оригинал тока i_L(t) по его операторному изображению (7.10).

Зададимся параметрами цепи: R₁=10 Ом, L=0,1 Гн, C=100 мкФ, напряжение источника U=100 В. Принимаем i_L(-0) =5 А, U_c(-0)=50 В. Подставим численные данные в выражение (7.10) и преобразуем его, определив коэффициенты многочленов числителя и знаменателя.

. (7.15)