Основы кластерного анализа

Классификация, кластеризация – методы, широко использу­емые в современной таксономии, – позволяют наглядно представить сходство или различие биологических объектов, охарактеризованных по многим параметрам. Эти под­ходы можно применять в самых разных областях биологии, в частности, для сравнения условий среды в сериях местообитаний, выявления различий и сходства между сообществами жи­вых организмов, отдельными их популяциями, группами, особя­ми и т. п. Кластерный анализ, как и многие другие многомер­ные статистические приемы, не имеет достаточно разработанно­го математического аппарата для статистического оценивания полученных данных; его основная функция – вы­явление скрытой структуры биологического материала, что поз­воляет затем целенаправленно ставить и решать конкретные биомет­рические задачи с помощью простых статистических методов (регрессионного, корреляционного, дисперсионного и др.).

Суть кластерного анализа состоит в

1) определении "расстоя­ний" (меры различия) между объектами по всей совокупности признаков,

2) группировании сходных объектов в кластеры (кластеризация),

3) графическом изображении сети (или древа) расстояний между всеми объектами.

Речь, следовательно, идет о формировании одного нового признака (относительного расстояния) на основании нескольких исходных.

В качестве меры расстояния может выступить любой признак. Так, разность между значениями длины тела двух поле­вок есть не что иное, как расстояние между ними по одному признаку. Достоинство кластерного анализа заключается в том, что он позволяет получить обобщенную меру расстояния между объектами по всему множеству анализируемых призна­ков.

Один из вариантов такой меры ос­нован на коэффициенте сходства Съёренсена, который исполь­зуется для сравнения многовидовых сообществ. "Расстояние" вычисляется по формуле:

,

где В и С – число видов в двух сравниваемых сообщест­вах,

А – число общих видов.

Рассмотрим в качестве примера анализ биоценотических группировок мелких млекопитающих Приладожья. Видовой состав изучен в 7 основных биотопах: лишайниковых сосняках (A), сосняках-зеленомошниках (Б), ельни­ках (В), спелых лиственных и смешанных лесах (Г), листвен­ном мелколесье (Д), молодых зарастающих вырубках (Е) и по границе сеяного луга и ольшаника (Ж). Встречаемость (по принципу отсутствие – присутствие) и относительная числен­ность (число особей на 100 ловушко-суток) 14 видов землероек и грызунов показаны в таблицах 9.1 и 9.2. Дальнейшая процедура сводится к следующему.

По данным таблицы 9.1 рассчитывается матрица расстояний между разными биотопами. Например, в ельниках (В) отмечено 12 видов мелких млекопитающих, а на вырубках (Е) – 5; из них общих для обоих биотопов – 5. Отсюда рас­стояние:

S = 1–10/17 = 0.41.

Смысл следующей операции – собственно кластеризации (от слова "кластер" – гроздь, группа) – состоит в последовательном объединении объектов в кластеры, в груп­пы, внутри которых сходство между объектами выше, чем с другими объек­тами или кластерами. Вначале объединяются наиболее сходные объекты (с наименьшим расстоянием между собой), затем приближающиеся к ним по этому показателю и так далее до момента слияния всех объектов в один общий кластер. При этом на промежуточных этапах могут образовываться несколько от­дельных кластеров. Уровень каждого объединения фиксируется и затем отображается на графике.

Таблица 9.1

Таблица 9.2

Существует множество вариантов процедуры кластеризации, из них наи­более простым считается метод "ближайшего соседа", не тре­бующий обязательного использования ЭВМ. Сначала по матри­це расстояний (табл. 9.2) отыскиваются ближайшие соседи для всех объектов и заносятся в таблицу наименьших расстояний (табл. 9.3). Так, к лишайниковому сосняку (А) ближе всего сосняк-зеленомошник (Б): S_АБ = 0.27, а к сосняку-зеленомошнику (Б) – лиственное мелколесье (Д): S_БД = 0.07, (минимальное расстояние из всех изу­ченных биотопов).

Таблица 9.3

Заполнив четыре первые графы, приступают к построению предварительного дерева расстояний (рис. 9.1, А). Для этого на график наносят индексы объ­ектов и расстояния между ними, соединя­ют их прямыми линия­ми. В нашем случае сначала образовалось два отдельных класте­ра (АБДЕЖ и ВГ), но их может быть и больше. Теперь вновь возвращаемся к таб­лицам 9.2 и 9.3. В пятой графе против объектов из меньшего кластера следует отме­тить индекс ближай­ших объектов из боль­шего кластера, а в шестой – расстояние меж­ду ними. Далее выбираем звено наименьшей протяженности – это спелые лиственные леса (Г) и молодняки (Д): S_ГД = 0.21. Соединим на рисунке 9.1 кластеры пунктирной линией, и кластеризация завершена.

Последний этап – построение окончательного варианта дендрограммы. Здесь также есть несколько возможностей. Представленноена рис. 9.1, Б "древо минимальной протяженности" строится с учетом единственного условия – соблюдения пропорций расстояний между биотопами-соседями.

Рис. 9.1. А – схема поэтап­ной кластеризации; Б – "древо минимальной про­тяженности"; А–Ж – ин­дексы биотопов

Классический вариант дендрограммы приведен на рис. 9.2. По оси абсцисс размещаются объекты в том порядке, который продиктован логикой их связей и субъективными вкусами исследователя, от­дельные ветви "древа" при этом не должны пересекаться. По оси ординат откладывается расстояние между ближайшими соседями (рис. 9.2).

Интерпретация полученных результатов подчеркивает дос­тоинства дендрограммы как емкой иллюстрации обобщающих характеристик. Так, в данных по Приладожью кластерный ана­лиз выделил группы биотопов, наиболее близких по условиям обитания и видовому составу зверьков. Наиболее богаты вида­ми еловые и смешанные леса (В и Г). Обедненными териокомплексами, представленными в основном политопными видами, ха­рактеризуются сосняки-зеленомошники, вырубки и лиственное мелколесье (Б, Е, Д). Население сосняков (Б и А) в общем сходно (табл. 9.1), но в лишайниковых сосняках видов очень мало. Наконец, наиболее обособленное положение занимает биотопичес­кий комплекс экотона – границы между лугом и лесом (Ж), включающий представителей смежных биотопов.

Рис. 9.2. Дендрограмма сходства биотопов по видовому составу мелких млекопитающих

При использовании в кластерном анализе количественных признаков применяют евклидову меру расстояния:

где x_kj, x_ki – значения k-го признака у j-го и i-го объектов,

m – число учитываемых признаков.

Рассчитав матрицу расстояний между объектами по комп­лексу количественных признаков, проводят кластеризацию и построение дендрограмм по описанному выше методу. Рас­смотрим эту процедуру на уже знакомом примере многовидо­вых группировок мелких млекопитающих в трех типах биото­пов Приладожья (Б –сосняки-зеленомошники, В – ельники, Д – мелколесье), но по данным количественных учетов канав­ками (экз. на 10 канавко-суток; табл. 9.4).

Рассчитаем евклидово расстояние сначала между двумя биотопами – сосняком (Б) и ельником (В):

.

Таблица 9.4

Повторив эту процедуру для других пар биотопов, получим d_БД = 0.741 и d_ВД = 0.417. Све­дем полученные данные в матрицу расстояний:

Дендрограмма приведена на рис. 9.3. По сравнению с предыдущим случаем она выявл­яет новые нюансы отношений между биоценотическими комплексами млекопитающих. Если по видовому составу лиственные леса (Д) были ближе к соснякам (Б) (в отличие от ельников и там и тут встречались лесной лемминг и темная полевка), то по уровню численности лиственные леса ближе к ельникам (в отличие от сосняков в этих биотопах существенно больше обыкновенных бурозубок и рыжих полевок).

Рис. 9.3. Дендрограмма сходства биотопов по численности мелких млекопитающих

Когда изучаемые признаки имеют разную размерность (экз./га, кг, мм, %), то вместо таблицы исходных данных (см. табл. 9.4) для вычисления евклидовой меры расстояния следует подго­товить таблицу нормированных значений. Для этого по каждой строке первичной таблицы рассчитываются средняя арифмети­ческая (М_j) и стандартное отклонение (S_j), а затем – нормированные значения каждой варианты из этой строки:

,

где x – исход­ные значения вариант 1-й строки (i-го признака).

Например, для первой строки таблицы 9.4 М₁ = 5.7, S₁ = 1.67. Новые значе­ния строки будут равны: t₁₁ = (3.9–5.7)/1.67 = –1.078,

t₁₂ = (7.2–5.7)/1.67 = 0.89, t₁₃ = (6.0–5.7)/1.67 = 0.18.

Полученная таким образом таблица используется для вычисления евклидовой меры расстояния между объектами по рассмотренному выше алгоритму.

Кроме рассмотренных мер расстояния для кластерной клас­сификации объектов исследования используют коэффи­циент корреляции (r) в форме коэффициента "не-корреляции": d_ji = 1– r_ji. При этом следует использовать нормированные значения признаков.

В этом случае матри­ца расстояний формируется по предварительно рассчитанной корреляционной матрице. Поскольку метод корреляционного анализа рассмотрен нами выше, а дальнейшие процедуры не­сложны и очевидны, мы не иллюстрируем этот прием конкрет­ным примером.

В среде Excel нет программы для проведения кластерного анализа. Но его можно выполнить с помощью пакета StatGraphics.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: