Производные высших порядков

Если производная у' =φ(х) от функции у =f (х) дифференцируема, то от нее, в свою очередь, можно вычислить производную, которая называется производной второго порядка или второй производной от заданной функции по аргументу х. Ее обозначение у'', , .

Возможно образование производных и более высоких порядков: у''', (или ) и т.д.

Производная второго порядка от заданной функции у=f (х) вычисляется путем последовательного двукратного дифференцирования заданной функции по общим правилам:

у =f (х); у' = f' (х)=φ(х); у''= f'' (х)=φ'(х)

Пример. у=х⁴, у'=4х³, у''=12 х²

Физический смысл производной второго порядка – это мгновенное (в заданный момент времени) значение ускорения при прямолинейном неравномерном движении тела.

Таблица 1. Производные основных элементарных функций

Действительно, скорость , а ускорение есть изменение скорости, т.е.

а=υ'=S'' или .

Пример 2. Задано уравнение движения тела S=2t² (м). Найти скорость и ускорение через 5 с после начала движения.

Решение: Скорость Ускорение .

Дифференциал функции

Из уравнения (4) можно записать равенство

, (6)

где - некоторая малая величина. При , т.е. тоже стремится к нулю.

Преобразовав (6) имеем:

, (7)

Из (7) видно, что приращение функции состоит из двух слагаемых. Слагаемое называют главной частью приращения функции или дифференциалом функции.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение аргумента и символически обозначается :

, (8)

-

Рис.2

Таким образом, дифференциал функции, в общем случае отличаясь от приращения функции, представляет собой главную часть этого приращения, линейную относительно приращения аргумента. В этом заключается аналитический смысл дифференциала.

Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях основано на использовании формулы (9), которая справедлива при достаточно малых приращениях аргумента функции . Если в этой формуле приращение представить в виде , а дифференциал в виде , то будем иметь:

,

откуда

, (12)

Формулу (12) можно использовать при нахождении приближенных значений функций.

Пример 3.Найти приближенно значение функции

для значения ее аргумента, равного 16,02.

Решение. Найдем производную данной функции:

и подставим в формулу (12):

.

Положим , а . Тогда

.

Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразнойфункции f(x) на интервале (a,b), если она дифференцируема на этом интервале и в каждой его точке

F´(x)=f(x), (13)

Например, первообразными функции 4x³ являются функции x⁴ и x⁴+6, так как

(x⁴)^'=4x³ и (x⁴+6)'=4x³

Заметим, что вообще, если F(x) первообразная f(x) , то F(x)+C , где C - произвольная постоянная, также является первообразной f(x) , так как

(F(x)+C)^'=F^'(x)=f(x), (14)

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) . Он обозначается символом

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x), то

(15)

где C - произвольная постоянная. Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием функции f(x). Чтобы найти интеграл, надо выполнить действия, обратные дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2.d

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

где k - постоянный множитель, отличный от нуля.

Таблица основных интегралов

1. ;

2. ,

3. ;

4. ; (a> 0, a )

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

Методы интегрирования

На практике при вычислении неопределенных интегралов их стараются свести к табличному виду различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: