|
|
Производная сложной функцииТема: «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»
1. Научно-методическое обоснование темы: Понятия производной и дифференциала являются одними из основных понятий математического анализа. Вычисление производных необходимо при решении многих задач в физике и математике (нахождение скорости, ускорения, давления и т. д.). Важность понятия производной, в частности, определяется тем, что производная функции характеризует скорость изменения этой функции при изменении ее аргумента. Применение дифференциала позволяет осуществить приближенные вычисления, а также проводить оценку погрешностей. Способы нахождения производных и дифференциалов функций и их применение составляют основную задачу дифференциального исчисления. Необходимость понятия производной возникает в связи с постановкой задачи о вычислении скорости движения и нахождении угла касательной к кривой. Возможна и обратная задача: по скорости определить пройденный путь, а по тангенсу угла наклона касательной найти соответствующую функцию. Такая обратная задача приводит к понятию неопределенного интеграла. Понятие определенного интеграла используют в ряде практических задач, в частности в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной силой, нахождению среднего значения функции. При математическом описании различных физических, химических, биологических процессов и явлений часто используют уравнения, содержащие не только изучаемые величины, но и их производные различных порядков от этих величин. Например, в соответствии с простейшей версией закона размножения бактерий, скорость размножения пропорциональна количеству бактерий в данный момент времени. Если это количество обозначить через N(t), то в соответствии с физическим смыслом производной скорость размножения бактерий представляет собой производную N'(t), и на основании упомянутого закона можно записать соотношение N'(t)=к∙N, где к>0 - коэффициент пропорциональности. Полученное уравнение не является алгебраическим, так как содержит не только неизвестную функцию N(t), но и ее производную первого порядка.
2. Теория: Задачи, приводящие к понятию производной
1. Задача о нахождении скорости
Таким образом, для нахождения мгновенной скорости материальной точки необходимо вычислить предел отношения приращения функции ΔS к приращению аргумента Δt при условии, что Δt→0.
2. Задача о нахождении угла наклона касательной к графику функции. Рассмотрим график некоторой функции у=f(х). В точке М1 проведем касательную к графику функции. Чему равен угол наклона
Рис.1
Она наклонена к оси ОХ под углом α1. Рассмотрим ΔМ1М2А:
Если точку М1 фиксировать, а точку М2 приближать к М1, то секущая М1М2 будет переходить в касательную к графику функции в точке М1 и можно записать:
Таким образом, необходимо вычислить предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Предел отношения приращения Δy функции у=f(х) к приращению аргумента Δx в заданной точке х0 при стремлении Δx к нулю, называется производной функции в заданной точке. Обозначения производной: у', f '(х),
где Δx=х2-х1 – приращение аргумента (разность между двумя последующими достаточно близкими значениями аргумента), Δy=у2-у1 – приращение функции (разность между значениями функции, соответствующими этим значениям аргумента). Нахождение производной данной функции называется ее дифференцированием. Дифференцирование основных элементарных функций производится по готовым формулам (см. табл.), а также с помощью правил:
(u+υ)'= u' +υ'
2. Производная произведения двух функций равна сумме произведений второй функции на производную первой и первой функции на производную второй:
(u∙ υ)'= u' υ + u υ' 3. Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель - квадрат знаменателя:
Физический смысл производной. Из сравнения (4) и (1) следует, что мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки равна производной зависимости ее координаты от времени. Общий смысл производной функции заключается в том, что она характеризует скорость (быстроту) изменения функции при данном изменении аргумента. Быстрота протекания физических, химических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции, скорость размножения бактерий и т.п., также выражается при помощи производной. Геометрический смысл производной.Величину тангенса угла наклона касательной, проведенной к графику функции, в математике называют угловым коэффициентом касательной. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в некоторой точке, численно равен производной функции в данной точке. Это утверждение называют геометрическим смыслом производной. Производная сложной функции
Из элементарных функций образуются сложные функции. Допустим, задана функция у =f(u), где u в свою очередь зависит от х, т.е. u=φ(х). Тогда, при изменении х будут меняться u и у. В этом случае заданная функция у =f(u) называется сложной и обозначается у =f [φ(х)]. Величина u называется промежуточной переменной. Тогда производная у' = у'u ∙u'х, (5)
Пример 1. у=еkx Обозначим u=kх, тогда у=еu. Находим производную у'u= еu. Подставим значение u=kх, тогда у'u= еkx. Находим u'х=k. Ответ: у' = у'u∙u'х= k еkx
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
материальной точки. Пусть некоторая материальная точка совершает прямолинейное движение. В момент времени t1 точка находится в положении М1. В момент времени t2 в положении М2. Обозначим промежуток М1М2 через ΔS; t2 – t1 =Δt. Величина 
называется средней скоростью движения. Чтобы найти мгновенную скорость точки в положении М1 необходимо Δt устремить к нулю. Математически это значит, что
, (1)
касательной, проведенной в точке М1? На графике выберем произвольную точку М2 и проведем секущую М1М2.
, (2)
, (3)
. По определению
, (4)
(по x) равна произведению производной 
(по u) на производную 
(по x) :