Уравнение расхода для несжимаемой и сжимаемой жидкости
Рассмотрим поток жидкости и предположим, что в сечениях А-А и В-В (рис.1.1) скорости по всему сечению равны средней скорости и направлены параллельно оси горизонтально расположенной трубы. Согласно закону сохранения энергии
(1.1)
для случая несжимаемой жидкости ( ), получим
, (1.2)
где и – абсолютные давления в сечениях А-А и В-В соответственно, Па; – плотность протекающей жидкости перед сужающим устройством, кг/м3; и – средние скорости потока жидкости в сечениях А-А и В-В соответственно, м/с.
Согласно условию неразрывности струи для несжимаемой жидкости (закон сохранения материи):
. (1.3)
Выразим и через – площадь отверстия сужающего устройства при рабочей температуре, м2 :
, (1.4)
, (1.5)
где – относительная площадь сужающего устройства ( , здесь и – соответственно диаметр отверстия сужающего устройства и трубопровода при рабочей температуре); – коэффициент сужения струи.
Подставив (1.4) и (1.5) в (1.3), получим
. (1.6)
Подставим выражение (1.6) в (1.2), после чего выразим скорость в самом узком сечении струи ( ) через разность давлений в самом широком и самом узком сечениях потока ( ):
. (1.7)
Давления и отнесены к сечению А-А и В-В, т.е. к самому широкому и самому узкому сечениям потока. В большинстве же случаев давления измеряют непосредственно в углах до и после сужающего устройства. Кроме того, в реальном потоке вследствие вязкости и трения жидкости о стенки имеет место потеря энергии и скорости в различных точках сечения. Поэтому при переходе к действительным условиям, а также вследствие замены давлений и давлениями и (рис. 1.1) в формулу (1.7) вводят поправочный коэффициент и уравнение средней скорости в наиболее узком сечении потока принимает вид
. (1.8)
Секундный расход в единицах объема для несжимаемой жидкости может быть выражен как или
. (1.9)
Коэффициенты и не могут быть определены с достаточной точностью независимо друг от друга. Поэтому их объединяют в один общий коэффициент
, (1.10)
который называют коэффициентом расхода и определяют экспериментальным путем.
Уравнения расхода для несжимаемой жидкости приобретают вид:
; (1.11)
, (1.12)
где – расход в единицах массы, кг/с.
Подставив (1.14) в (1.1) и проинтегрировав (1.1) для сечений А-А и В-В, получим
. (1.15)
Подставляя на основании (1.13) в уравнение (1.15) значение
,
получаем
. (1.16)
Уравнение неразрывности потока сжимаемой жидкости для сечений и имеет вид
. (1.17)
Выразим и через – площадь отверстия сужающего устройства при рабочей температуре, м2 :
, , (1.18)
где через обозначен коэффициент сужения, который отличается от коэффициента сужения для несжимаемой жидкости, так как он зависит от отношения давлений . Это происходит потому, что вследствие отсутствия боковых стенок, особенно у диафрагм, газ или перегретый пар может расширяться в радиальном направлении. Следовательно, наименьшее сечение струи потока для сжимаемой жидкости за диафрагмой будет несколько больше, чем для несжимаемой жидкости, так как сжимаемая жидкость будет несколько увеличиваться в объеме вследствие уменьшения давления за сужающим устройством.
Подставим (1.18) в (1.17), после чего выразим (1.18) относительно :
. (1.19)
Подставляя (1.19) в (1.16), находим среднюю скорость в наиболее узком сечении потока
. (1.20)
Как и для несжимаемой жидкости, введем коэффициент , после чего уравнение расхода в единицах объема для сжимаемой жидкости примет вид
. (1.21)
Уравнение расхода (1.21) можно представить в виде, аналогичном уравнению для несжимаемой жидкости, что более удобно для практических целей:
; (1.22)
, (1.23)
где – перепад давления на сужающем устройстве, Па; – поправочный множитель на расширение измеряемой среды, равный
, (1.24)
где
. (1.25)
Уравнения (1.22) и (1.23) отличаются от уравнений для несжимаемой жидкости (1.11) и (1.12) только поправочным множителем на расширение измеряемой среды. Поэтому уравнения (1.22) и (1.23) действительны также для несжимаемой жидкости, поскольку для нее поправочный множитель равен единице.
Данные уравнения расхода для сжимаемой жидкости могут применяться только в том случае, когда скорость потока в сужающем устройстве не достигает критической, т.е. скорости звука в данной среде.
11.Уравнение Бернули. Физический смысл и примеры приминения
Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях[1][2][3][4]) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
— плотность жидкости,
— скорость потока,
— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
— ускорение свободного падения.
Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости[5].
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли[6](не следует путать сдифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли[7][8] или интегралом Бернулли[5][9].
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению являетсяработой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»[10]).
Соотношение, близкое[11] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного родарасходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[12]), в магнитной гидродинамике[13], феррогидродинамике[14].
Одно из применений[править | править вики-текст]
Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.
Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости ; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли
Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
,
где
— атмосферное давление,
— высота столба жидкости в сосуде,
— скорость истечения жидкости,
— гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты ).
Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость на выходе приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты .
Часто уравнение Бернулли записывается в виде:
где
— гидродинамический напор,
— скоростной напор.
Для сжимаемого идеального газа[править | править вики-текст]
[15] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)
где
— Адиабатическая постоянная газа
— давление газа в точке
— плотность газа в точке
— скорость течения газа
— ускорение свободного падения
— высота относительно начала координат
При движении в неоднородном поле заменяется на потенциал гравитационного поля.
12. Измерение давления, скорости и расхода жидкостиПИТО-ПРАНДТЛЯ ТРУБКА - устройство для измерения давления, а также направления потока жидкости или газа и их расхода, основанное на измерении давления в потоке. Пито-прандтля трубку устанавливают вдоль потока (рис. П-17). Через центральное отверстие измеряют полное давление р0; через боковые - статическое давление р. Скорость потока вычисляют по формуле где а - поправочный коэф.; ρ- плотность газа или жидкости.
Рис. П-17. Схема трубки Пито-Прандтля
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|