Расход потока жидкости. Средняя расходная скорость.

Выделим в целом потоке жидкости элементарную струйку.

Рис. 9.1 Элементарная струйка.

U – скорость течения во входном сечении элементарной струйки.

За некоторый промежуток времени dt через входное померечное сечение пройдёт объём жидкости dW.

dS – путь, который совершит жидкая частица за время dt от входного сечения dw.

Объём dW можно представить:

Расход жидкости, проходящей через входное поперечное сечение элементарной струйки:

(9.1)

dQ – элементарный расход, проходящий через сечение элементарной струйки.

Целый поток жидкости представляет собой совокупность элементарных струек (Рис. 9.2). Для определения величины расхода целого потока Q проинтегрируем выражение для элементарного расхода 9.1 по площади целого потока w.

Итак, расход целого потока:

(9.2)

Рис. 9.2. К определению величины расхода целого потока.

Вследствие наличия трения скорости в движущейся жидкости распределены неравномерно ( см.вязкость ).

Рис.9.3 Распределение скоростей в потоке жидкости.

Для определения величины расхода необходимо знать зависимость U=f(n) для упрощения вычислений вводят понятие средней расходной скорости (и в дальнейшем этим понятием оперируют).

С геометрической точки зрения интеграл (9.2) представляет собой объём эпюры скоростей.

Заменим эпюру скоростей, выровненной эпюрой (с постоянным значением скорости U_ср для каждой точки сечения потока), равновеликой ей по объёму.

Средняя скорость – это воображаемая скорость, которая определяется как высота выровненной эпюры скоростей.

Объём выровненной эпюры скоростей:

Объём действительной эпюры скоростей:

(Найдём среднюю скорость из условия равенства объёмов этих двух эпюр.)

Тогда расход целого потока можно представить через среднюю расходную скорость:

(9.3)

((Последнее оказывается несколько проще для вычислений, по сравнению с определением величины расхода целого потока через интеграл (9.2). В случае использования зависимости (9.3) вначале обычно определяют величину расхода в каком-либо сечении потока, или устанавливают связь между известной скоростью в некоторой точке потока с величиной средней расходной скорости.))

Уравнение неразрывности.

Уравнение неразрывности является частным случаем закона сохранения массы.

Для вывода уравнения неразрывности выделим в целом потоке несжимаемой ( ρ = const) жидкости элементарную струйку (Рис.10.1).

dω₁ – Входное сечение элементарной струйки;

dω₂ – выходное сечение элементарной струйки;

U₁ – Скорость во входном сечении элементарной струйки;

U₂ – Скорость во выходном сечении элементарной струйки;

Рис.10.1 Элементарная струйка.

За некоторый промежуток времени dt через входное сечение элементарной струйки dω₁ пройдёт масса жидкости dm₁. За то же время через выходное сечение dω₂ пройдёт масса dm₂.

Так как перетока жидкости через боковую поверхность элементарной струйки нет (2 свойство элементарной струйки), то масса жидкости поступившей в элементарную струйку должна быть равна массе жидкости вышедшей из элементарной струйки. Можем записать:

(10.1)

Таким образом, масса элементарной струйки остаётся постоянной, то есть выполняется закон сохранения массы.

Рассматриваемые массы поступившей и вышедшей жидкости можно выразить через соответствующие объёмы:

,

где dW₁ – объём жидкости, который пройдёт за время dt через входное сечение элементарной струйки;

dW₂ – объём жидкости, который пройдёт за время dt через выходное сечение элементарной струйки;

Объёмы dW₁ и dW₂ по аналогии с п.9 можно выразить через скорости жидкости в соответствующих сечениях:

Перепишем с учётом вышесказанного зависимость 10.1.

(10.2)

Поскольку рассматривается несжимаемая однородная жидкость то величина плотности вдоль потока не изменяется, в результате после сокращений зависимость 10,2 будет иметь вид:

, (10.3)

или

, (10.4)

где – элементарный расход, проходящий через поперечное сечение элементарной струйки

Подобным образом можно показать, что выражения 10.3 и 10.4 выполняются для любых (не обязательно двух) поперечных сечений элементарной струйки, назначив в качестве выходного сечения любое другое. Тогда окончательно можно написать:

(10.5)

или для нескольких конкретных сечений:

Выражение 10.5 и есть уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки можно распространить и на целый поток жидкости. Действительно, если рассматривать трубопровод переменного сечения (Рис. 10.2), то через стенки такого трубопровода перетока жидкости также не происходит. Поэтому за время t через поперечные сечения 1-1, 2-2 и 3-3 проходят одинаковые объёмы жидкости. соответственно W₁, W₂ и W₃.

Рис.10.2 Трубопровод переменного по длине сечения.

(10.6)

Это означает, что расход Q=W/t жидкости вдоль оси трубопровода не изменяется:

(10.7)

Расход жидкости можно представить через среднюю расходную скорость U_ср:

Тогда для рассматриваемых сечений трубопровода 1-1, 2-2 и 3-3 выражение 10.7 примет вид:

(10.8)

Выражение 10.8 будет справедливо для любых поперечных сечений потока, важно только, чтобы рассматриваемые сечения полностью пересекали данный поток жидкости.

Итак, уравнение неразрывности для целого потока несжимаемой жидкости:

(10.9)

Из уравнения неразрывности следует, что отношение средних скоростей движения жидкости в двух поперечных сечениях потока обратно пропорционально площадям этих сечений.

То есть при расширении скорости потока уменьшаются, и, наоборот, при сужении потока скорость увеличивается.

Условия для применения уравнения неразрывности:

1. Отсутствие оттока жидкости через поверхности ограничивающих поток стенок.

2. Плотность жидкости должна быть постоянна вдоль потока.

3. Движение жидкости должно происходить сплошным потоком без оразования в нём разрывов (отсюда название уравнения)

Если бы такие разрывы имелись в потоке, то на их заполнение затрачивалась бы часть жидкости, поступающей через входное сечение и равенство 10.1 не могло бы выполняться.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: