Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции простейших сечений.

Техническая механика

1. Сопротивление материалов. Основные положения, гипотеза и допущения.

Сопромат – это раздел техмех, в котором излагаются теоретико-экспериментальные основы и методы расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основные требования к деталям и конструкциям:

1.Прочность – это способность не рушиться под нагрузкой.

2.Жесткость – способность не значительно деформироваться под нагрузкой.

3.Выносливость – это способность длительное время выдерживать переменные нагрузки.

4.Устойчивость – это способность сохранять первоначальную форму упругого равновесия.

5.Вязкость – это способность воспринимать ударные нагрузки.

Виды расчетов:

1. Расчет на прочность обеспечивает не разрушение конструкций.

2. Расчет на жесткость обеспечивает деформацию конструкций под нагрузкой в пределах допустимых норм.

3. Расчет на выносливость обеспечивает необходимую долговечность элементов.

4. Расчет на устойчивость обеспечивает сохранение необходимой формы равновесия и предотвращает внезапное искривление длинных стержней.

5. Расчет на удар - для обеспечения прочности конструкций работающих при ударных нагрузках.

Основные гипотезы и допущения:

Приступая к расчетам следует решить, что в данном случае важнее, а что можно отбросить, т.к. решение задачи с учетом всех свойств реального объекта невозможно.

1. Допущение о свойствах материала. Материалы однородные: в любой точкой материалы имеют одинаковые физико-механические свойства.

2. Материалы представляют сплошную среду. Кристаллическое строение металлов и микроскопические дефекты не учитываются.

3. Материалы изотропны, т.е. механические свойства не зависят от направления нагружения, материалы обладают идеальной упругостью, т.е. восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузок.

2. Классификация нагрузок и элементов конструкций.

1. Статические нагрузки.Они не меняются со временем или меняются очень медленно. При действии статических нагрузок проводится расчет на прочность.

2. Повторно-переменные нагрузки. Многократно меняются по значению или по значению и знаку, действие таких нагрузок вызывает усталость металла.

3. Динамические – меняют значение в некоторый промежуток времени, вызывают большие ускорения и силы инерции могут привести к внезапному разрушению конструкций.

Формы элементов конструкций.

1.Брус – это любое тело у которого длина значительно больше других размеров. А – прямой, Б – ступенчатый, В – криволинейный.

2.Пластина – это любое тело толщина которого значительно меньше остальных размеров.

3.Массив – это тело у которого три размера одного порядка.

Нагрузки внешние и внутренние, метод сечений. Мех напряжение.

Метод сечений – элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор. Под действием внешних сил возникают внутренние – силы упругости.

Метод сечения заключается в мысленном рассечении бруса или тела плоскостью и рассмотрение равновесия любой из частей.

Мех напряжение – интенсивность внутренних сил в точке поперечного сечения.

4. Известны следующие простейшие виды деформаций стержней:

1) - осевое растяжение и сжатие - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении стержня возникает только продольная сила - (работа тросов, канатов, цепей, тяг управления самолетом, стоек шасси самолета, подкосов рамы двигателя, шатунов поршневых двигателей);

2) - сдвиг или срез - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила - (работа болтов подвижных соединений, цапф, пальцев сочленения, сварных швов, шпонок и др.);

3) - кручение - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент - (работа валов, крыла и фюзеляжа самолета, рулей и элеронов, работа стойки шасси);

4) - изгиб чистый - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент –Mх или My

Растяжение и сжатие. Внутренние силовые факторы напряжения. Построение эпюр.

Вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один ВСФ – продольная сила.

Продольные силы меняются по длине бруса. При расчетах после определения продольных сил строится график, который называется эпюра продольных сил.

Условно назначают знак продольной силы: + растяжение - сжатие

Если продольная сила направлена от сечения бруса, то брус растянут. Растяжение считают положительной деформацией, если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжатие считают отрицательной деформацией.

Построение эпюр.Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене. Разделим брус на участки нагружения.

Участок нагружения – это часть бруса между внешними силами.

Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука.

Между продольной и поперечной деформацией существует связь (ф)

Закон Гука. В пределах упругих деформаций, деформации прямо пропорциональны нагрузке.

(ффф)

Е – модуль упругости при растяжении, характеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальное напряжение пропорционально относительному удлинению.

В прочих условиях чем жестче материал, тем меньше он деформируется.

Растяжение и сжатие. Механические испытания, механич. характеристики. Предельные и допускаемые напряжения. Расчет на прочность при растяжении и сжатии.

1. Мех испытания.

При выборе материала для элементов конструкций и расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики, необходимые сведения получают экспериментально при испытаниях на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб.

2. Основные хар-ки прочности:

1) Предел пропорциональности (ф)

2) Предел упругости (ф)

3) Предел текучести (ф)

4) Предел прочности или временное сопротивление разрывом (ф)

3. Предельное напряжение – это напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или деформация).

Для пластичных материалов предельное напряжение = пределу текучести.

Для хрупких - = пределу прочности

Для пластично-хрупких - = 0,2

Допустимое напряжение – это максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать. ДН получают по предельным напряжениям с учетом запаса прочности (ф)

S – допускаемый запас прочности, который зависит от качества материала и условий работы.

- допускаемое напряжение

пред. – предельное напряжение

Для простых деталей S=1,25

Для сложных, работающих в условиях вибрации, S = 12,5

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Расчеты ведутся по условиям прочности- неравенства, выполнение которых гарантирует прочность детали при данных условиях.

Для обеспечения прочности, расчетное напряжение не должно превышать допускаемое.

ффф

Существует три вида расчета на прочность:

1) Проектировочный расчет – когда задана расчетная схема и нагрузки, материал и размеры детали подбираются.

А) определение размеров поперечного сечения (ф)

Б) выбор материала (ф)

2) Проверочный расчет – когда известны нагрузки материала и размеры детали, необходимо проверить обеспечена ли прочность материала (ф)

3) Определение нагрузочной способности (максимальная нагрузка) ф

Срез и смятие.

Сдвиг (срез) – это нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один ВСФ – поперечная сила.

Закон Гука при сдвиге. Фф

Расчет на прочность при сдвиге.

Носит условный характер, предполагает рад допущений:

1) При расчете на сдвиг изгиб детали не учитывается

2) При расчетах считаем, что силы упругости распределены по сечению равномерно

3) Если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считаем, что внешняя сила распределена между ними равномерно

Напряжение определяется (фф)

Смятие

Почти всегда одновременно со сдвигом происходит смятие, в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой возникают напряжения смятия.

Расчет так же условный, допущение такие же как и при сдвиге, однако напряжения распределены неравномерно. Поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки.

Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции простейших сечений.

При растяжении и сжатии, а также при сдвиге и смятии деталь сопротивляется деформацией всеми сечениями одинаково. Здесь геометрической характеристикой является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется не одинаково. При расчетах появляются другие геометрические характеристики, которые называются моментами инерции.

Статический момент инерции площади сечения.

Фф

Центробежный момент инерции.

Это взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты.

Ф

Центробежный момент может быть +,- и =0.

ЦМ =0 когда оси проходят через центр тяжести сечения. Эти оси, относительно которых ЦМ =0 называются главными осями. А главные оси, проходящие через центр тяжести сечения называются главными центральными осями сечения.

Осевые моменты инерции.

Осевым моментом инерции сечения относительно некой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по все площади сумма произведения элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси.

Фф

Полярный момент инерции в сечении.

ПМИ относительно некоторой точки называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой точки.

Фф

Моменты инерции простейших сечений.

1) Осевые моменты инерции прямоугольника

Ффф

Квадрат

Ффф

Полярный момент инерции круга

Ффф

Кольцо

Ффф

Момент инерции относительно параллельных осей

Ффф

10. Кручением называетсянагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор —крутящий момент.

Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:

1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации

2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один и

тот же угол ϕ, то есть каждое сечение поворачивается относительно оси x как жесткий тонкий диск;

4) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.

Для наглядного представления о характере распределения и величине крутящих моментов по длине стержня строят эпюры (графики) этих моментов. Построение их вполне аналогично построению эпюр продольных сил при растяжении или сжатии. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков. Общепринятого правила знаков для крутящих моментов не существует. Может быть принято любое правило знаков. Важно лишь принятое правило выдержать на всем протяжении эпюры.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: