Интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование рациональных функций

Функция R(x) называется рациональной, если для вычисления её значений над аргументом Х выполняется только конечное число арифметических действий.

Любую рациональную функцию можно представить в виде . Пусть степень многочлена равна m , а степень Q(x) равна n , то есть где и . Если m<n, то дробь R(x) называется правильной, а если , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель P(x) можно поделить на знаменатель R(x) , получив при этом частное S(x) и остаток T(x) , степень которого m’<n. Это означает, что .

Теорема Безу:

При делении многочлена на Qn(x) (n>0) на разность (х-с), где С произвольное число, получается остаток равный значению многочлена при х-с.

Q_n(x)=(x-c)Q_n-1(x)+Q_n(c), где Q_n-1(x) – многочлен степени n-1

Следствие: если с - корень многочлена Q_n(x), то Q_n(x)=(х-с) Q_n-1(x)

Теорема 2 (основная теорема алгебры)

Всякий многочлен Q_n(x) степени n>0 имеет по крайней мере, один вещественный или комплексный корень.

Всякий многочлен Q_n(x) может быть представлен в виде Q_n(x)=a₀(x-c₁) (x-c₂)….(x-c_n), где с₁,с₂,…,с_n корни многочлена Q_n(x), а k₁k₂k_m кратность соответствующего корня. Тогда a₀(x-c₁)^k1 (x-c₂)^k2….(x-c_n)^km.

Теорема 3

Если многочлен Q_n(x) с вещественными коэфициентами имеет комплексный корень a+ib, кратности k, то сопряжённое число a-ib есть корень той же кратности. a+ib и a-ib – пара сопряжённых комплексных корней Q_n(x). x²+px+q, где p=-2a, q=a²+b²

Вывод:Многочлен Q_n(x) может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных можетелей (неразложимых на линейные вещественные множетели).

Q_n(x)= a₀(x-c₁)^k1 (x-c₂)^k2….(x-c_r)^kr (x²+p₁x+q₁)^L1….(x²+p_sx+q_s)^Ls, где множетели (x-c₁)^k1 (x-c₂)^k2….(x-c_r)^kr соответсвует вещественным корням c₁,c₂,c_r Q_n(x) кратности k₁k₂k_r , а множетели (x²+p₁x+q₁)^L1….(x²+p_sx+q_s)^Ls – S парам комплексно сопряжённых корней кратности L₁,L₂,Ls

Интерестно, что (k₁k₂k_r+ 2L₁,2L₂,2Ls=n).

Простейшими дробыми 1 и 2 типа называются рациональные дроби вида A/(x-c)^k; и Mx+N/(x²+p₁x+q₁)^L, где k, L натуральные числа, а A,M,N,c,p,q –вещественные числа при условии, что p²-4q<0

Теорема 4

Всякая правельная рациональная дробь может быть предствавлена в виде суммы простейших дробей, так что каждому множетелю вида (x-c)^k в разложении знаменателя отвечает сумма k простейших дробей первого типа. A₁/x-c+A₂/(x-c)²+……+A_k/(x-c)^k, а каждому множителю вида (x²+p_sx+q_s)^L сумма из L простейших дробей 2-го типа (M₁x+N₁/ x²+px+q) + M₂x+N₂/( x²+px+q)² + M_Lx+N_L/( x²+px+q)^L. Такое разложение единственно.

Интегрирование простейших рациональных функций

1.

2.

3.

4. заменой сводится к линейной комбинации интегралов и

5. заменой сводится к линейной комбинации интегралов и

Метод неопределённых коэффициентов

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х2 +...+ а nxn, заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а0, а1, а2, ..., аn равны нулю.

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

Пусть и f(x) = а0+а1х +...+ а nxn, и g (x)= b 0+ b 1х + b 2х2 +...+ bnxn.

Для того чтобы f(x)= g(x)необходимо и достаточно, что бы а0= b0, а1 = b1, а2 = b 2 , ..., а n= bn

Рассмотрим два многочлена степени m и n, соответственно

предположим, что

При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство

Интегрирование тригонометрических выражений

1.Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.

Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.

2.Подынтегральная функция удовлетворяет условию

или условию . Тогда можно использовать подстановку или соответственно.

3.Подынтегральная функция удовлетворяет условию . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени и . В этом случае часто применяют замену переменной , где или где . При этом, так как или или ,то . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул и .

4.Вычисление интегралов вида , где m и n ? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку .

Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и .

В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или .

Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества.

Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.

5.При вычислении интегралов вида или где m - натуральное число, используют тригонометрические формулы или, соответственно, .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: