Сделай Сам Свою Работу на 5

Вынужденные колебания систем с малой нелинейностью, основной случай.





 

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими. В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы пo-прежнему остается неизменной. Что касается вынужденных колебаний с малой нелинейностью, то это вынужденные колебания, имеющие уравнение:

 

,

 

где - малый параметр, fj - периодичны по t с периодом и разлагаются на ряды Тейлора по степеням , x. Это уравнение (4), возбужденное малой нелинейностью.



Рассмотрим в качестве примера уравнение Дуффинга:

 

( ) (9)

 

Здесь

 

 

 

откуда следует, что решение уравнения:

 

(10)

 

где все функции периодичны по t и разлагаются в ряды Тейлора по степеням имеет вид:

 

, , (11)

 

 

где

 

(12)

 

 

а будет уже линейной комбинацией функций и т.д.

Таким образом, в решении (9) на основную гармонику с частотой окажутся наложенными верхние гармоники с частотами и с амплитудами всё более высокого порядка малости.

 

Особые случаи

Среди нелинейных колебаний выделяют некоторые особые случаи, которые широко используются в науке и технике.

Субгармонические колебания (в радиотехнике, субгармоники) - гармонические колебания с частотами, равными обычно кратным долям значения основной частоты. Субгармонические колебания получают посредством делителей частоты (электронное устройство, уменьшающее в целое число раз частоту подводимых к нему периодических колебаний) или генераторов субгармонических колебаний. У делителей частоты некоторых типов наибольшая кратность деления частоты, приходящаяся на одну ступень деления, может достигать несколько тысяч.



Незатухающие колебания — колебания, амплитуда которых не убывает со временем, а остается постоянной. Электрические незатухающие колебания в радиотехнике создаются машинами высокой частоты, дуговыми и ламповыми генераторами. Применяются в радиотелеграфе и радиотелефоне.

Автоколеба́ния — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе (математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени) с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. Термин автоколебания в русскоязычную терминологию введён А. А. Андроновым в 1928 году.

Релаксационные колебания - автоколебания, возникающие в системах, в которых существенную роль играют диссипативные силы: внешнее или внутреннее трение — в механических системах, активное сопротивление — в электрических. Рассеяние энергии, обусловленное этими силами, приводит к тому, что энергия, накопленная в одном из двух (или более) накопителей, входящих в состав автоколебательной системы, не переходит полностью к другому накопителю (как в системах, совершающих гармонические колебания), а рассеивается в системе, превращаясь в тепло. Релаксационные колебания как и всякие автоколебания, могут происходить только в нелинейных системах, поэтому рассмотрение релаксационных колебаний требует применения нелинейной теории колебаний. Релаксационные автоколебательной системы характерны тем, что при отключении источника энергии в них невозможны колебательные движения. Если в системе преимущественное значение имеет один из энергоёмких параметров (например, ёмкость при пренебрежимо малой индуктивности или упругость при пренебрежимо малой массе), то каждый период релаксационных колебаний может быть разделён на несколько резко разграниченных этапов, соответствующих медленным и быстрым изменениям состояния системы, в которой происходят релаксационные колебания, что позволяет рассматривать релаксационные колебания в подобных вырожденных системах как разрывные колебания. Упрощённое рассмотрение механизма возникновения релаксационных колебаний основано на пренебрежении параметрами системы, влияющими на характер быстрых движений. Методы нелинейной теории колебаний позволяют исследовать не только медленные, но и быстрые движения, не пренебрегая параметрами, от которых характер быстрых движений существенно зависит, и не прибегая к специальным постулатам о характере быстрых движений. В зависимости от свойств системы возможно большое разнообразие форм релаксационных автоколебаний от близких к гармоническим до скачкообразных и импульсных.



Так же выделяют непериодические колебания – спонтанно возникающие колебания, не подчиняющиеся никакому закону. Непериодические колебания, если они имеются, обычно имеют сложную природу, представляют собой комбинацию нескольких колебаний различной или даже переменной периодичности и переменного размаха. Для установления самого факта наличия непериодических колебаний, а тем более надежного определения их параметров требуются временные ряды большой длительности, редко встречающиеся на практике. Элементы непериодических колебаний, если они имеются, рассматриваются как один из возможных компонентов случайной составляющей. В такой постановке задача прогнозирования по временному ряду сводится к определению параметров сезонных колебаний и тенденции и их последующему использованию для целей предсказания будущих значений временного ряда.

 

В качестве примера рассмотрим случай, когда система с одной степенью свободы возбуждается на частоте, близкой к собственной, т.е. когда в уравнении (10) h=0, Для нахождения решения в уравнении (10) должно быть А=0, т.е. будет рассматриваться уравнение:

(13)

 

 

Рассмотрим уравнение Дуффинга с малым затуханием:

(14)

где

(15)

Введём безразмерные приращения частоты и амплитуды:

Коэффициенты r и s используются для уменьшения числа параметров.

На рисунке 3 показано соотношение между приращениями при различных фиксированных значениях где q находится по формуле:

Рис. 3

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.