Исходное уравнение запишем в матричной форме

Исходное уравнение запишем в матричной форме

, где , .

Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и матрица – невырожденная, т.е. . В этом случае для матрицы существует обратная матрица . Умножая слева обе части уравнения на , получим

, где единичная матрица,

искомая матрица.

Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле , где алгебраическое дополнение элемента матрицы . Для данной матрицы : . Тогда

Ответ : .

2) Найти неизвестную матрицу из уравнения

Решение.

Исходное уравнение запишем в матричной форме

, где , .

Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и , т.е. для матрицы существует обратная матрица . Умножая справа обе части уравнения на , получим , где единичная матрица, или , или

искомая матрица.

Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле, указанной в примере 1), имеем и

Тогда

Ответ : .

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Дана система уравнений:

Решение.

Решение системы находим по формулам Крамера

Для начала вычислим определитель системы

Обозначим через определитель матрицы . Пусть есть определитель матрицы , в которой вместо первого столбца стоит столбец . Пусть есть определитель матрицы , в которой вместо второго столбца стоит столбец . Наконец, пусть есть определитель матрицы , в которой вместо третьего столбца стоит столбец .

, ,

Если , то согласно правилу Крамера решение системы уравнений можно найти по формулам

, , .

Имеем:

Следовательно, по формулам Крамера,

, , .

5. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решим теперь ту же систему уравнений матричным способом, с вычислением обратной матрицы.

Запишем ту же систему линейных уравнений в матричной форме:

где

Поскольку по определению обратной матрицы имеем

Û ,

и так как , решение системы можно записать в виде

Чтобы находить , необходимо научиться вычислять определитель матрицы .

Нам понадобятся два понятия: знак элемента матрицы и минор элемента. Для элемента , стоящего в –й строке, –м столбце матрицы , знак равен числу . Удобно использовать следующее правило знакочередования: у элемента первой строки, первого столбца знак равен , а у любых двух соседних по строке или столбцу элементов знаки различны.

Минором элемента называется определитель матрицы, которая получается вычеркиванием -й строки и –го столбца исходной матрицы .

Определение определителя матриц начнем с матриц размера . Определитель матрицы размера равен произведению элементов главной диагонали (то есть диагонали, идущей сверху вниз и слева направо) минус произведение элементов сопряженной диагонали,

В частности, .

Определитель матрицы размера сводится к вычислению трех определителей матриц размера по следующему правилу: надо выделить произвольную строку (или столбец) матрицы , умножить каждый элемент этой строки (столбца) на знак этого элемента, и умножить на минор элемента, а затем все полученные произведения сложить. Это правило называется разложением определителя по строке (столбцу). Можно показать, что результат не зависит от выбора строки или столбца.

Приведем результат разложения определителя матрицы по первой строке:

В частном случае:

Поскольку , обратная матрица существует. Для вычисления используем формулу

где – алгебраические дополнения элементов матрицы (заметим, что алгебраические дополнения элементов строк записываются в соответствующие столбцы). Получаем:

, ,

, , ,

, , .

Обратная матрица, следовательно, имеет вид

Остается умножить матрицу на столбец ,

Ответы совпали.

6. Решить систему методом Гаусса.

Рассмотрим ту же систему уравнений:

Решение.

Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит , отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит , отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключением неизвестных , , и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения , , ,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения.

Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе - на , а затем сложим полученные уравнения. Получим

Аналогично, умножим первое уравнение системы на 8, второе - на , а затем сложим.

Данное преобразование будем записывать в следующем виде:

Возьмем теперь второе уравнение и с его помощью исключим переменную из третьего уравнения системы. Для этого второе уравнение системы умножим на 63, третье уравнение умножим на , и сложим полученные уравнения.

Мы привели систему уравнений к так называемому верхне-треугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной из последнего уравнения системы, затем значение переменной из второго уравнения, и, наконец, значение переменной из первого уравнения.

Ответ: тот же - .

7. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме , или , . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе - число неизвестных и число уравнений. , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

8. При каких значениях система

имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.

Решение.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения :

Найдем теперь соответствующие решения.

1) При система имеет вид :

Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с в правые части уравнений :