ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Лекция 1

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.1. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда.

Любое заряженное тело всегда имеет заряд q, равный целому числу n элементарных зарядов

|q| = n|е|,

и который может быть как положительным, так и отрицательным. Элементарный электрический заряд – это отрицательный заряд - электрон:

е = – 1,6 · 10^-19 Кл,

где Кл (кулон) – краткое обозначение единицы измерения величины заряда. Существует и аналогичный положительный элементарный заряд р, который имеет частица протон.

р = + 1,6 · 10^-19 Кл.

Результирующий заряд тела:

q = n₁e + n₂p,

где n₁ – число отрицательных зарядов; n₂ – число положительных зарядов.

Для n₁ > n₂, q < 0; n₁ < n₂, q > 0, n₁ = n₂, q = 0.

В изолированной от внешней среды системе заряженных тел сумма всех зарядов остаётся постоянной.

Постоянство электрического заряда в изолированной системе заряженных тел называется законом сохранения электрического заряда:

(1.1)

1.2. Закон Кулона

Электрические заряды q₁ и q₂, на расстоянии r друг от друга, взаимодействуют между собой с силой

, (1.2)

где F_1,2, F_2,1 – сила, действующая на первый заряд со стороны второго и наоборот; – относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды, ε₀=8,85 ·10^-12 ;

Опытом установлено, что одноимённые заряды отталкиваются, а разноимённые - притягиваются (рис.1.1). Силы притяжения и отталкивания направлены вдоль прямой, соединяющей заряды.

_1,2

+q₁ +q₂

+q_{1 1,2} -q₂

Рис.1.1

Среда, отличная от вакуума, всегда ослабляет кулоновскoе взаимодействие зарядов в раз по

сравнению с взаимодействием их вакууме:

, (1.3)

В связи с этим закон Кулона формулируется так:

Сила электрического взаимодействия двух точечных зарядов в среде прямо пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна

диэлектрической проницаемости среды и квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды.

и записывается в виде:

, (1.4)

1.3. Напряженность электрического поля

Каждый электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле, обеспечивающее взаимодействие зарядов.

Электрическое поле способно оказывать силовое воздействие на помещенный в это поле заряд q. В связи с этим одним из методов исследования электрического поля является метод пробных зарядов. Пробный заряд q должен быть положительным, точечным и малым по величине, чтобы не искажать исследуемое электрическое поле.

Сила F, действующая на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, зависит от свойств поля в этой точке и величины пробного заряда.

Отношение

, (1.5)

Называется напряжённостью, зависит только от свойств поля в рассматриваемой точке и, следовательно, является независимой от величины пробного заряда характеристикой поля.

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы действующей на пробный заряд.

Сила, действующая на заряд q в электрическом поле

, (1.6)

Напряженность электрического поля - это силовая характеристика поля, действующего на единичный положительный заряд q₊ = 1Кл.

1.4. Электрическое поле точечного заряда

Взаимодействие заряда q₁ с зарядом q₂ можно рассматривать как взаимодействие электрического поля заряда q₁ на заряд q₂:

, (1.7)

где:

Аналогично напряжённость поля Е, созданного произвольным по величине точечным зарядом q на расстоянии r от него:

, (1.8)

где вектор совпадает с вектором силы , действующей на пробный заряд q₊:

1.5. Принцип суперпозиции для электрического поля

Электрические поля чаще всего создаются несколькими зарядами. (рис.1.2). Электрическое поле, создаваемое зарядами равно геометрической сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

где

Тогда

.

Для электрических полей, как и для механических сил, справедлив принцип суперпозиции

(1.9)

Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

1.6. Силовые линии электрического поля

Силовые линии – это наглядная форма представления электрического поля. Силовую линию проводят так, чтобы в любой ее точке вектор напряженности электрического поля был направлен по касательной к силовой линии. (рис.1.3) Густота силовых линий характеризует величину поля (чем линии гуще, тем поле больше).

На рис.1.4, 1.5, 1.6 показаны электрические поля для некоторых частных случаев. Силовые линии начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных и не пересекаются друг с другом.

Электрическое поле называется неоднородным, если его силовые линии искривлены и проходят с разной густотой в разных точках пространства. Если же силовые линии прямые, идут с одинаковой густотой и в одном направлении, то это поле называется однородным (рис 1.5).

Рис. 1.4 Положительный заряд. Рис. 1.5 Отрицательный заряд.

Рис.1.6 Два заряда.

Вопросы и задания для самостоятельного изучения

1. Назовите виды зарядов.

2. Запишите формулу для определения силы взаимодействия между точечными зарядами.

3. Как определяется напряжённость электрического поля точечного заряда.

4. Определите вектор напряжённости электрического поля в центре квадрата, в углах которого находятся положительные точечные заряды.

Лекция 2

1.7. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля через некоторую площадку S (рис. 1.7) равен числу силовых линий, пересекающих эту площадку.

α

 

dS

 

 

Рис. 1.7

Количество пересекаемых площадку силовых линий зависит от ориентации площадки в пространстве, определяемой вектором нормали .

Через малую площадку dS, в пределах которой линии параллельны, поток вектора

, (1.10)

где угол между векторами и .

Поток вектора через произвольную поверхность S

 

, (1.11)

 

Для однородного электрического поля

 

. (1.12)

 

В качестве примера рассчитаем поток через сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q (рис. 1.8).

 

dS

 

+q

 

R S

 

 

Рис. 1.8

Выберем на сфере бесконечно малую площадку dS. Вектор нормали направим вне сферы S. В любой точке площадки dS (и сферы S) вектор параллелен вектору , а его модуль

 

(1.13)

 

Поток вектора напряжённости

 

,

 

, (1.14)

Где , ,

 

Подставим в 1.14 ,

тогда

, (1.15)

 

Для общего случая, когда произвольная по форме замкнутая поверхность окружает произвольную по форме систему зарядов (рис. 1.9). поток вектора напряжённости

, (1.16)

где Q-алгебраическая сумма зарядов, - абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Определение потока N_E в виде соотношения 1.16. называется теоремой Гаусса, а поверхность окружающая заряды – гауссовой.

Теорема Гаусса: полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость.

1.8. Работа и энергия электрического поля

Электрическое поле, действуя на заряды. Совершает механическую работу.

Рассмотрим поле, созданное положительным точечным зарядом q, в котором перемещается точечный заряд q₊ по траектории из точки 1 в точку 2. (рис.1.9)

2

А

α

q+ α d₂

 

β

 

q

β≈0

dx→0 Рис 1.9

 

Работа, совершаемая электрическим полем на элементарном участке dx траектории движения заряда

, (1.17)

где: .

Работа на участке траектории 1, 2 определится в результате интегрирования

(1.18)

 

Работа электрического поля не зависит от формы траектории движения заряда от точки 1 к точке 2. Точно такими же свойствами обладает и гравитационное поле, где действует консервативная сила тяжести. Следовательно, сила электрического взаимодействия между зарядами есть консервативная сила, а электрическое поле – потенциально. Работа консервативных сил, действующих на тело, равна убыли потенциальной энергии.

Для электрического поля

 

(1.19)

 

где:

, (1.20)

 

есть потенциальная энергия электрического поля, а С – постоянная интегрирования, которая зависит от выбора точки в пространстве, в которой потенциальная энергия заряда условно полагается равной нулю.

1.9. Потенциал электрического поля

Разные по величине заряды в одной и той же точке электрического поля обладают разными потенциальными энергиями. Однозначной характеристикой электрического поля будет соотношение:

, (1.21)

которое называется потенциалом электрического поля.

Потенциал данной точки электрического поля – это скалярная физическая величина, характеризующая энергетическое состояние поля в рассматриваемой точке и численно равная потенциальной энергии единичного точечного положительного заряда. помещенного в данную точку.За единицу потенциала в системе СИ принимается один вольт.(1 В). Это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж.

Отношение работы электрического поля на участке 1, 2 траектории к движущемуся заряду

(1.22)

 

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда. равна произведению величины этого поля на разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории.

Если заряд из точки 1 удаляется в бесконечность, то в ней напряженность и потенциальная энергия электрического поля равны нулю, а затраченная работа

 

, (1.23)

 

а потенциал в точке 1

. (1.24)

 

Потенциал данной точки электрического поля численно равен работе, которую нужно совершить при перемещении единичного положительного заряда по любому пути из данной точки в бесконечность.

Для графического изображения распределения потенциала в электрическом поле используют понятие эквипотенциальных поверхностей, которая представляет собой совокупность всех точек пространства, имеющих одно и то же значение потенциала, т.е. по всей эквипотенциальной поверхности .

 

 

 

90^o

 

φ=const

 

Рис.1.10

Особенностью любой эквипотенциальной поверхности является то, что силовые линии электрического поля всегда пересекают эквипотенциальную поверхность по нормали к ней.

 

 

1.10. Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля

Электрическое поля в любой его точке определяется напряженностью и потенциалом . Рассмотрим электрическое поле. созданное точечным положительным зарядом (рис. 1. 11). z Рис. 1.11

 

 

 

dx

q

y x

Работа электрического поля по перемещению заряда в направлении оси Х с эквипотенциальной поверхности на эквипотенциальную поверхность :

,

.

 

Из последних двух равенств следует, что:

. (1.25)

Так как напряженность и потенциал поля изменяются в направлении всех трех координатных осей, то :

, (1.26)

где величина, стоящая в скобках, называется градиентом потенциала и обозначается или . Тогда

 

; . (1.27)

 

Градиент потенциала – это вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания потенциала в пространстве и численно равный изменению потенциала на единицу длины этого направления. Вектор градиента потенциала направлен к эквипотенциальной поверхности в сторону, противоположную вектору напряженности электрического поля.

Согласно определению градиента потенциала, в системе СИ напряженность электрического поля измеряется в вольт/метр, В/м.

1.11. Проводники в электрическом поле

Проводниками называются тела, в которых электрические заряды способные перемещаться под действием сколь угодно слабого электрического поля.

Электрическими зарядами в проводнике могут быть заряды, принесенные из вне путем электризации, и, микроскопические заряды, из которых состоят атомы и молекулы проводника (электроны, ионы). Проводниками являются все металлы, а так же электролиты и ионизированные газы.

При помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле напряженностью свободные положительные микроскопические заряды будут перемещаться к его поверхности в направлении , отрицательные – против . В результате на одном конце проводника скопится избыточный положительный заряд, на другом – отрицательный (рис. 1. 12).

 

 

 

q

 

 

-q +q

Рис. 1.12

Заряды на противоположных концах проводника называются индуцированными или наведенными, которые создают собственное электрическое поле , направленное от избыточных положительных к избыточным отрицательным зарядам, т.е. противоположное внешнему полю . Причем заряды в проводнике будут разделяться внешним полем до тех пор, пока результирующее поле в проводнике не будет равно нулю.

Возникновение индуцированных (наведенных) зарядов на проводнике, помещенном в электрическое поле, используется для зарядки проводников при помощи так называемых электрических индукционных машин. Отсутствие поля внутри проводника, помещенного в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранирования) различных электрических приборов и проводников.

1.12. Диэлектрики в электрическом поле

В идеальном диэлектрике нет свободных зарядов, способных под действием электрического поля перемещаться через весь диэлектрик. Атомы и молекулы диэлектрика содержат равные количества положительных и отрицательных микроскопических зарядов и в целом электрически нейтральны. Под действием электрического поля в молекулах диэлектрика происходит перераспределение зарядов, создающее поляризацию диэлектрика. Эффект поляризации заключается в том, что весь объем диэлектрика приобретает электрический момент.

В зависимости от строения вещества диэлектрика существуют три типа поляризации.

1. У диэлектриков (парафин, бензол, водород, азот и др.) во внешнем электрическом поле «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов молекул смещаются в противоположные стороны на некоторое расстояние , малое по сравнению с размерами молекулы (рис.1.13.).

 

 

+q + _ -q

+ _

 

 

 

Рис. 1.13

 

Каждая молекула приобретает дипольный электрический момент:

(1.28)

который пропорционален напряженности внешнего поля . При снятии внешнего поля дипольные моменты дезориентируются и электричексий момент диэлектрика исчезает.

 

2. У таких диэлектриков, как вода, натробензол и др. “центры тяжести” положительных и отрицательных зарядов молекулы не совпадают даже при отсутствии внешнего электрического поля (рис.1.14).

 

+

 

α

 

_

 

Рис.1.14

 

Вследствие теплового движения, дипольные электрические моменты ориентируются хаотично и в сумме создают нулевой электрический момент. При помещении такого диэлектрика в однородное внешнее поле на каждый диполь молекулы будет действовать электрическая сила , поворачивающая его вдоль поля.

Хаотичное тепловое движение препятствует ориентации диполей вдоль поля и вновь располагает их под самыми различными углами α к направлению поля. В результате этих противоположных воздействий среднее значение проекции дипольного момента молекулы на направление поля будет отличным от нуля, пропорционально абсолютной температуре Т.

3. У кристаллических диэлектриков (хлористый натрий, хлористый калий и др.) при внесении их в электрическое поле происходит смещение положительных и отрицательных ионов. что образует дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля и пропорциональный . В рассмотренных трех видах диэлектриков поляризации приводит к уменьшению напряженности поля. Эффект поляризации можно учесть с помощью относительной диэлектрической проницаемости

, (1.29)

где , Е – напряженность внешнего поля в вакууме. Рассмотрим поляризацию диэлектрической пластинки в однородном электрическом поле напряженности

В результате поляризации пластинка приобретает дипольный момент , являющийся суммой дипольных моментов всех молекул диэлектрика в данном объеме ,где S – площадь грани пластинки

d – Толщина пластинки

. (1.30)

Дипольный момент единицы объема

 

(1.31)

 

называется вектором поляризации.

Вектор поляризации всегда направлен вдоль вектора напряженности внешнего электрического поля и пропорционален величине напряженности поля в диэлектрике:

, (1.32)

 

где х - диэлектрическая восприимчивость вещества.

В результате возникновения объемной поляризации на гранях диэлектрика образуются поляризационные или связанные заряды q с некоторой поверхностной плотностью

.

 

Образование поляризационных зарядов приводит к возникновению дополнительного внешнего поля , которое суммируется с внешним полем и создает поле диэлектрика

 

.

Напряженность дополнительного электрического поля в диэлектрике

.

Полный дипольный момент пластины диэлектрика , тогдамодуль вектора поляризации

Напряженность поля в диэлектрике

 

(1.33)

 

 

, (1.34)

где , - диэлектрическая восприимчивость

 

Вопросы и задания для самостоятельного изучения

 

 

Лекция 3

1.13. Электрическая емкость уединенного проводника

При электризации проводника сообщенный ему заряд q будет перераспределяться до тех пор, пока в любой точке внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной нулю

( проводника =0).

Сообщенный проводнику избыточный заряд вследствие взаимного отталкивания распределяется по поверхности проводника. Это распределение зависит от формы проводника и образует внутри проводника поле с нулевой напряженностью и всюду одинаковым потенциалом.

Потенциал проводника в виде шара радиусом R

. (1.35)

Коэффициент пропорциональности зависит от геометрии проводника. Произведение называется электроемкостью и обозначается

(1.36)

электроемкость численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу.

В системе СИ за единицу электроемкости принимают емкость такого проводника, при сообщении которому заряда 1КЛ его потенциал изменяется на 1В. Эта единица называется фарадой. Так как фарада представляет собой большую единицу, то в практике используют единицы, кратные фараде:

1мкФ = 10^-6 Ф – микрофарада

1пФ= 10^-12 Ф – пикофарада

Электроемкость уединенного проводника зависит от его геометрических размеров, формы и диэлектрических свойств окружающей среды.

1.14. Конденсаторы электрической энергии

Электроемкость Земли по формуле С з = 700 мкФ. Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом в 1500 раз превышающим радиус Земли. В практике необходимы накопители заряда малых размеров с электроемкостью порядка микрофарад и фарад.

Такими накопителями заряда являются конденсаторы. Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных прослойкой диэлектрика (рис. 1.15).

Рис.1.15

Приближая вторую обкладку к первой и помещая между ними вещество с высокой диэлектрической проницаемостью , можно создать конденсаторы большой емкости и накапливать заряды при незначительной разности потенциалов. Практически очень важно, что электрическое поле конденсатора сосредотачивается почти целиком в узком зазоре между его обкладками, так что его электроемкость не зависит от наличия других проводников и диэлектриков вблизи конденсатора.

При приложении к конденсатору некоторой разности потенциалов его обкладки заряжаются равными по величине зарядами q, но противоположными по знаку. Под электроемкостью конденсатора С_к понимается отношение заряда одной из его обкладок g к разности потенциалов между обкладками:

В плоском конденсаторе поле между пластинами площадью площадью S практически однородно, а его напряженность

, (1.37)

Известно также, что

. (1.38)

Сравнивая два последних соотношения, получим:

.

И электроемкость плоского конденсатора:

. (1.39)

Увеличивать электроемкость плоского конденсатора можно, уменьшая расстояние между пластинами, что ведет к возрастанию напряженности электрического поля в диэлектрической прослойке. В очень сильных полях (порядка 10⁷ В/м)возникает пробой диэлектрика и конденсатор разрушается. Для предотвращения пробоя расстояние между пластинами при выбранном диэлектрике не следует делать меньше некоторого минимального значения , а при расстоянии между пластинами к конденсатору нельзя прикладывать разность потенциалов, превышающую некоторое максимальное значение .

Для накопления энергии используют параллельное соединение конденсаторов в батареи (рис. 1.16 а).

а) б)

Рис.1.16

При параллельном соединении электроемкость батареи равна сумме емкостей включенных в нее конденсаторов.

.

Для предотвращения пробоя прибегают к последовательному соединению конденсаторов (рис.1.15.б)

где суммарная электроемкость такого соединения определяется из соотношения:

и всегда будет меньше электроемкости каждого из конденсаторов.

1.15. Энергия электрического поля заряженного проводника и конденсатора

При сообщении проводнику с электроемкостью С заряда потенциальная энергия электрического поля вокруг него возрастет на величину равную работе , совершенной внешними силами при перемещении заряда из бесконечности на поверхность проводника

,

Где и соответственно потенциал электрического поля и заряд на поверхности проводника.

Энергия проводника , заряд которого достиг некоторой величины q.

(1.40)

Для плоского конденсатораэнергия электрического поля

. (1.41)

Подставляя в последнее равенство

(1.42)

где - объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля обкладками плоского конденсатора

. (1.43)

Вопросы и задания для самостоятельного изучения

1. Определить потенциал электрического поля на поверхности шара радиусом 1 м, зарядом 1 Кл.

2. Определить электроемкость шара радиусом 1 м.

3. От каких геометрических параметров зависит электроемкость плоского конденсатора.

4. Определить электроемкость батареи 10 конденсаторов 1 нФ. Соединенных последовательно.

5. Определить электроемкость батареи 10 конденсаторов 1 нФ соединенных параллельно.

6. Определить плотность энергии плоского конденсатора с расстоянием между пластинами 1мм и напряжением 100 В.

Лекция 4

Глава 2. Постоянный ток.

2.1. Электрический ток

Электрический ток – это направленное движение зарядов. Электрический ток называется конвекционным, когда заряды перемещаются в пространстве; током проводимости, когда заряды движутся внутри проводника; током в вакууме, когда заряды движутся в вакууме.

Рассмотрим ток проводимости как наиболее часто встречающийся в технике.

Для определения тока в проводнике используют понятие сил тока

, (2.1)

где – количество заряда, прошедшее через выбранное сечение проводника за промежуток времени .

Сила тока – определяет интенсивность направленного движения заряженных частиц и равна заряду, переносимому через поперечное сечение проводника в единицу времени. Если сила тока не зависит от времени, то ток будет называться постоянным

.

Заряды обоих знаков перемещаются в противоположных направлениях при прохождении тока в проводнике. Исторически сложилось так, что за направление электрического тока считают направление движения положительных зарядов, или направление, обратное движению отрицательных зарядов. Величина тока в системе СИ измеряется в амперах (А).

2.2. Закон Ома.
Сопротивление и электропроводность проводника

Рассмотрим цилиндрический проводник длиной .

Для того, чтобы в проводнике существовал постоянный ток , необходимо внутри проводника создать постоянное электрическое поле с напряженностью . Напряженность электрического поля в проводнике существует тогда, когда в нем имеется градиент потенциала:

(2.2)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: