Радиальное уравнение. Главное и орбитальное квантовые числа.

Основы квантовой физики атомов.

Водородоподобные атомы. Уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме.

Водородоподобные атомы представляют собой системы, состоящие из ядра, заряд которого и одного электрона (заряд ). Примеры: Н, D, T, He⁺, Li⁺⁺ и т.д.

.

Движение двух частиц осуществляется вокруг общего центра масс, тогда ( ),

кинетические энергии и .

Отношение энергий ядра и электрона для атома водорода

.

В приближении прямоугольной потенциальной ямы минимальная энергия обратно пропорциональна массе частицы

.

Поэтому ядро можно считать неподвижной частицей, создающей потенциальную яму для электрона.

Потенциальная энергия электрона в атоме водорода

Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме с учетом вида

,

где - полная энергия электрона;

или

,

где - оператор Лапласа:

.

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид:

.

Уравнение Шредингера в сферических координатах для электрона в водородоподобном атоме

Движения по координатам в сферически симметричном поле являются независимыми, и функцию можно представить в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной:

или ,

- радиальная функция, описывающая радиальное движение электрона,

- угловая функция, описывающая вращение электрона относительно ядра в водородоподобном атоме (ротатор).

Полную энергию электрона можно представить в виде:

Уравнение Шредингера примет вид

Разделим это выражение почленно на , получим:

Это уравнение содержит слагаемые, зависящие от , и . Вследствие независимости движений по координатам , это уравнение должно выполняться при любых значениях и при их независимом изменении. Оно распадается на части, зависящие от и от :

- радиальная часть

или после преобразований

;

- угловая часть

или

- это оператор Лежандра,

- оператор момента импульса, поэтому угловое уравнение можно записать в виде

.

Применим оператор к :

,

т.к. и , где - орбитальное квантовое число.

Тогда можно записать

.

Собственные значения энергии

.

Таким образом, уравнение Шредингера можно представить в виде системы из двух уравнений, радиального и углового:

.

Радиальное уравнение. Главное и орбитальное квантовые числа.

Мы получили радиальное уравнение:

;

или

,

т.к. ,

где - полная энергия электрона.

Радиальная функция имеет вид:

,

где .

- полином Лагерра, имеющий ( ) корней,

Из свойств полиномов Лагерра следует, что решение существует только при .

В системе координат, вращающейся с электроном потенциальная энергия электрона будет:

.

Второе слагаемое этого выражения –потенциальная энергия в поле центробежных сил.

Если энергия электрона , то его движение инфинитно.

Если , то электрон находится в потенциальной яме (его движение финитно).

По теории Бора

и .

Эти результаты подтверждаются опытом, и для квазиклассического случая (при больших n) является справедливым

.

Тогда по Бору

,

где ,

.

Откуда , следовательно, .

При , при . Отсюда следует, что .

Суть проблемы: в квантовой яме микрообъект не может покоиться.

Основное состояние электрона в атоме водорода: , , .

Это состояние сферически симметрично, т.е. зависит только от . Для нахождения необходимо решить радиальное уравнение:

,

Решением этого уравнения будет функция вида:

.

Находим

; .

Подставляя эти выражения в радиальное уравнение, получим:

,

или

.

Для того, чтобы это равенство выполнялось при любых , коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны нулю:

при , откуда ;

при , откуда .

Тогда .

Строгое решение уравнения Шредингера для основного состояния электрона в атоме согласуется с выводами теории Бора.

С теорией Бора не совпадает следующее: орбитальное движение электрона полностью отсутствует, но радиус Бора, как параметр волновой функции есть.

Волновая функция для электрона в основном состоянии в атоме водорода:

.

Вероятность локализации электрона в некотором объеме

.

Вследствие сферической симметрии, распределение плотности вероятности зависит от модуля радиуса , независимо от его направления. Поэтому элемент объема целесообразно выбрать в виде сферического слоя между радиусами и :

.

Тогда

, где .

Функция имеет максимум при

.

Откуда . - это радиус первой боровской орбиты.

Первая боровская орбита соответствует области, где плотность вероятности локализации электрона в зависимости от модуля радиуса максимальна.

Тогда

.

Из условия нормировки:

следует, что . И волновая функция имеет вид:

.

Для водородоподобного атома .

При - электрон принимает любые значения кинетической энергии – он свободе.

При полная энергия электрона в водородоподобном атоме

.

- главное квантовое число, оно определяет энергию электрона в атоме.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: