Периодические функции и процессы

Керченский государственный морской технологический университет

Кафедра высшей математики и физики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания для самостоятельного изучения

раздела высшей математики «Ряды Фурье»

для студентов дневной формы обучения

направления 6.070104 «Морской и речной транспорт»

Керчь, 2011

Автор: Драчева И.А., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ

Рецензент: Ивановская А.В., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики и физики КГМТУ,

протокол № 10 от 10 мая 2011 г.

Методические указания утверждены и рекомендованы к изданию методической комиссией морского факультета КГМТУ

протокол № 5 от 1 июля 2011 г.

© Керченский государственный морской технологический университет, 2011

Содержание

Введение

Данное пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела высшей математики «Ряды Фурье». Методическое пособие может быть использовано при подготовке к модульной контрольной работе, а также к семестровому экзамену.

Данным методическим пособие могут пользоваться студенты дневной и заочной форм обучения.

РЯДЫ ФУРЬЕ

Периодические функции и процессы

Очень многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движения шатуна и поршня в двигателях, явления, связанные с распространением электромагнитных колебаний и многие другие.

Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями.

Периодической функцией называется функция , определенная на множестве , и имеющая период , т.е. при каждом выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции с периодом достаточно построить его на любом отрезке длиной и периодически продолжить его на всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1.Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период , есть периодическая функция с периодом .

2.Если функция имеет период , то функция имеет период ; действительно .

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции . Период этих функций равен .

В инженерных приложениях часто используется величина, обратная периоду – частота или круговая частота .

Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией

где - амплитуда колебания, - круговая частота, - начальная фаза.

Такое колебание называют простой гармоникой, то есть содержащее одну частоту.

Период колебаний простой гармоники равен .

Выражение для простого колебательного процесса может быть преобразовано к виду, содержащему как синусоидальную, так и косинусоидальную составляющие

,

где использованы обозначения .

В результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник возникает сложное гармоническое колебание, также описываемое функциями вида и . Так, функция

состоит из суммы периодических функций, каждая из которых имеет период и задает сложное гармоническое колебание с периодом .

Если какой-либо процесс имеет периодический характер, значит описывающая его периодическая функция аналогична функции, представляющей собой сложное гармоническое колебание, состоящее из суммы простых гармоник.

Возникают следующие вопросы:

1. Всякую ли периодическую функцию можно представить в виде суммы простых гармоник?

2. Возможно ли это, если периодичность процесса не равна ?

3. Если оба вопроса имеют утвердительный ответ, то, как найти неизвестные коэффициенты каждой из этих гармоник?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: