Сделай Сам Свою Работу на 5

Метод Гаусса-Зайделя (метод покоординатного спуска)





Лекция 5.

Оптимизация технологических объектов управления и АСУ. Методы оптимизации, используемые для решения данной задачи. Статическая и динамическая оптимизация.

Организация управления технологическим процессом.

Учебная литература: Пл. 59-86, 86-97. Сб. 152-173..

План лекции.

- Оптимизация технологических объектов управления, цели и задачи.

- Статическая и динамическая оптимизация.

o Динамическая оптимизация.

o Статическая оптимизация.

- Методы статической оптимизации (с подробным рассмотрением метода Гаусса-Зайделя).

- Организация управления технологическим процессом

o Организационная структура оперативного управления

o Функционально-групповое управление

o Комплексы технических средств автоматизации

§ Средства отображения информации

§ Средства дистанционного управления

§ Средства автоматического непрерывного регулирования

§ Средства автоматического дискретного (логического) управления

§ Средства автоматической защиты

 

Оптимизация технологических объектов управления и АСУ

В зависимости от того, о какой области идет речь, определение оптимизации может быть различным. Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. В рамках данного курса под оптимизацией будем понимать отыскание максимума или минимума некоторой целевой функции при соблюдении имеющихся технологических ограничений. Что именно будет выполняться – минимизация или максимизация – зависит от того, о какой конкретно задаче и величине идет речь. Например, КПД различных установок или сроки их службы, очевидно, необходимо максимизировать, расход топлива или электроэнергии на какую-либо установку – минимизировать.



В установившихся режимах работы оборудования на первый план выдвигаются экономические задачи, например, достижение максимальных КПД. В переходных режимах работы первоочередными становятся технологические задачи, например, поддержание параметров в рамках допустимых отклонений. В первом из описанных случаев говорят о статической оптимизации, во втором – о динамической, задачи статической и динамической оптимизации преследуют разные цели.



 

Динамическая оптимизация

К динамической оптимизации, согласно определению, относят задачи определения значений управляющих и входных воздействий, являющихся функциями времени и обеспечивающих достижение заданных критериев управления для технологических процессов в переходных режимах. Наиболее распространенной задачей динамической оптимизации для промышленных установок является достижение желаемой формы переходных процессов при заданных граничных условиях и детерминированных входных сигналах. При случайных возмущениях минимизируют статистические показатели качества.

В рамках нашего курса под задачей динамической оптимизации будем понимать, как правило, поиск оптимальных параметров настройки регулятора. Очевидно, следует предварительно выбрать алгоритм регулирования.

Целью решения задачи динамической оптимизации является подбор таких параметров регулятора, при которых все текущие отклонения регулируемой величины от заданного значения были бы минимальными. В идеальном случае при подаче возмущения по «регулирующему каналу» (т.е., при нанесении регулирующего воздействия) вообще не должно быть отклонений, но инерционность объекта не позволяет этого добиться. Имеется еще один фактор, который нельзя не учитывать – минимальные отклонения соответствуют работе системы на границе устойчивости, что недопустимо, поэтому предпочтительным будет режим работы на границе зоны заданного запаса устойчивости.

На основании всего вышесказанного, задачу динамической оптимизации можно сформулировать так: динамическая оптимизация – это подбор таких значений параметров настройки регулятора, при которых для данного объекта регулирования при заданном запасе устойчивости отклонения регулируемой величины от заданного значения были бы минимальными. Сложность и трудоемкость этой задачи зависит ,в первую очередь, от закона регулирования и числа искомых настроечных параметров.



Так как термин «оптимизация» предполагает поиск каких-либо переменных, обеспечивающих экстремум целевой функции, зависящей от этих переменных, то в математическом виде постановка задачи оптимизации будет выглядеть следующим образом:

(5.1)

где: - один из показателей качества регулирования, - функция цели, - параметры настройка алгоритмов регулирования.

Задача оптимизации может быть условной и безусловной. В безусловной задаче на переменные х не накладываются ограничения. В задаче условной оптимизации на переменные накладываются ограничения в виде равенств или неравенств. В технике практически все задачи оптимизации являются условными. В рассматриваемой задаче на переменные накладываются следующие ограничения:

(5.2)

(5.3)

где: - один из показателей запаса устойчивости, например, степень затухания или степень (корневой показатель) колебательности.

Метод решения задачи оптимизации может быть численным или аналитическим, ряд методов рассматривался в рамках курса ТАУ, ряд методов будет рассматриваться на практических занятиях в рамках данного курса.

 

Статическая оптимизация

К статической оптимизации относят задачи определения экстремума функции цели в зависимости от значений переменных параметров системы и управляющих воздействий, не являющихся функцией времени. Одна из наиболее распространенных задач – нахождение экстремума того или иного ТЭП. Задача статической оптимизации для промышленных установок также, как правило, является условной.

Рассмотрим задачу статической оптимизации на следующем примере. Имеется котельная, в которой установлены пять котлов. Данные пять котлов должны выдавать заданное количество тепла , при этом на количество тепла, выдаваемого каждым котлов, накладываются ограничения сверху и снизу. Необходимо минимизировать суммарный расход топлива на котельную при соблюдении указанных ограничений.

Математически постановка задачи будет выглядеть следующим образом.

Целевая функция:

(5.4)

Ограничения:

(5.5)

(5.6)

Существуют различные методы решения задач статической оптимизации – прямой метод, метод неопределенных множителей Лагранжа, метод динамического программирования, симплекс-метод (метод деформируемого многогранника) и т.д. Все они имеют свои достоинства и недостатки и свою сферу применения. Остановимся более подробно на одном из них – методе Гаусса-Зайделя.

 

Метод Гаусса-Зайделя (метод покоординатного спуска)

Данный метод рассмотрим на примере задачи оптимизации для целевой функции, зависящей от двух переменных – х1 и х2. Для определенности положим, что целевую функцию нужно максимизировать. На независимые переменные сверху и снизу накладываются ограничения. Математическая постановка данной задачи будет выглядеть следующим образом:

(5.7)

(5.8)

Иллюстрация к методу Гаусса-Зайделя представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1.

Сначала необходимо внутри допустимой области выбрать точку начала поиска, обычно она выбирается в центре области, если нет оснований выбрать ее в другом месте. Далее одна из переменных фиксируется, вторую варьируют – делают пробные шаги с целью определения направления движения. По результатам каждого шага рассчитывают значение целевой функции. Направлением движения в данном случае будет направление возрастания целевой функции. В этом направлении делаются рабочие шаги вдоль соответствующей оси координат до тех пор, пока на очередном шаге ЦФ не начнет уменьшаться. Тогда возвращаются на шаг назад, текущую варьируемую переменную фиксируют и делают все описанные шаги по другой переменной.

Точность нахождения экстремума зависит величины шага. При этом необходимо учитывать, что при чрезмерном уменьшении шага увеличивается время поиска.

Несомненным достоинством данного метода является его простота. Основной недостаток – долгое время поиска экстремума.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.