Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Лекция 4. Центр тяжести.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы

1. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.

2. Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой.

3. Центр тяжести твердого тела.

4. Координаты центров тяжести неоднородных тел.

5. Координаты центров тяжести однородных тел.

6. Способы определения координат центров тяжести.

7. Центры тяжести некоторых однородных тел.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.

Пусть даны две параллельные силы и , направленные в одну сторону и приложенные к точкам и (рис.34).

Рис.34

Конечно, величина их равнодейст­вующей . Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона най­дём точку приложения равнодействую­щей – точку С. По этой теореме

Значит

Отсюда То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками и на части обратно пропорцио­нальные силам.

Если параллельные силы направ­лены в противоположные стороны (рис.35), то аналогично можно дока­зать, что равнодействующая по вели­чине будет равна разности сил: (если ), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в точке С. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам:

Рис.35

Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей располо­жена на одной прямой с точками и , точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, рав­нодействующая также повернётся вокруг точки приложе­ния С в том же направлении, и останется параллельной им.

Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.

Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии дей­ствия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия.

Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил.

Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой

, (1)

где - радиусы-векторы точек приложения сил; – вели­чина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).

Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, то проек­ции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. По­этому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим

где – координаты точек приложения сил.

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой.

а) общий случай

- интенсивность распределенной силы [Н/м],

- элементарная сила.

– длина отрезка

Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности эквивалентна сосредоточенной силе .

Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой

б) постоянная интенсивность

в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону

.

Центр тяжести тел.

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, дей­ствуют силы – силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется цен­тром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его

(2)

где – вес каждой точки тела, а – вес всего тела.

Рис.36

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоско­сти.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии (рис.36), то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами . И координата по (2), бу­дет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симмет­рии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по фор­мулам (2), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (2) – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а - объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,

И аналогично, где - объём всего тела.

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины где – площадь пластины, d – толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с по­мощью площадей:

где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или кри­волинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их где l_i – длина, – вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:

где – координаты центра тяжести -го участка;

Отметим, что согласно определению центр тя­жести - это точка геометрическая; она может лежать и вне преде­лов данного тела (например, для кольца).

Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где - вес единицы объема тела (удельный вес)

- вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где - вес единицы площади тела,

- вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где - вес единицы длины тела ,

- вес всего тела.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: