Пример расчета сложной цепи постоянного тока

123

Рис. 2.1

Дано:

E₁=220 В

E₃=110 В

R₁=5 Ом

R₂=4 Ом

R₃=3 Ом

R₄=8 Ом

R₅=10 Ом

R₆=12 Ом

r₁=2 Ом

r₃=2 Ом

Требуется :

1. Составить систему уравнений для расчета неизвестных токов в ветвях при помощи метода уравнений Кирхгофа (решать эту систему уравнений не следует);

2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов;

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов;

4. Результаты расчета токов, выполненного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой;

5. Составить баланс мощностей;

6. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя обе ЭДС.

Решение:

Для расчёта токов, протекающих в заданной схеме, произвольно расставляют их направления в каждой из ветвей, например, как это указано на рис. 2.1.

Метод уравнений Кирхгофа

Составляем уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

I₂− I₄− I₃= 0;

I₁+ I₃− I₆= 0;

I₆+ I₅− I₂= 0;

−I₂∙(R₂+r₃) −I₄∙R₄−I₅∙R₅= − E₃;

I₂∙(R₂+r₃) + I₆∙R₆+ I₃∙R₃ = E₃;

−I₆∙R₆+ I₅∙R₅+ I₁∙(R₁ +r₁) = −E₁.

Метод контурных токов

При уже заданных направлениях токов в ветвях теперь также произвольно выбираем направления контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃в каждом из контуров, как это показано пунктиром на рис. 2.1. Запишем стандартную систему уравнений по методу контурных токов для данной схемы:

I₁₁∙R₁₁+ I₂₂∙R₁₂+ I₃₃∙R₁₃= E₁₁;

I₁₁∙R₂₁+ I₂₂∙R₂₂+ I₃₃∙R₂₃= E₂₂;

I₁₁∙R₃₁+ I₂₂∙R₃₂+ I₃₃∙R₃₃= E₃₃,

где

R₁₁=R₄+ r₃+ R₂+ R₅= 4 + 8 + 10 + 2 = 24 Ом;

R₂₂= R₂+ r₃+ R₆+ R₃= 4 + 2 + 12 + 3 = 21 Ом;

R₃₃= R₆+ R₅+ R₁+ r₁= 12 + 10 + 5 + 2 = 29 Ом;

R₁₂= R₂₁= − (R₂+ r₃) = −6 Ом;

R₁₃=R₃₁=−R₅=−10 Ом;

R₂₃=R₃₂=−R₆=−12 Ом;

E₁₁=E₁=−220 В;

E₂₂=E₃=220 В;

E₃₃=−110 В.

Подставим рассчитанные значения в систему уравнений:

24∙I₁₁−6∙I₂₂−10∙I₃₃=−110;

−6∙I₁₁−21∙I₂₂−12∙I₃₃=110;

−10∙I₁₁−12∙I₂₂+29∙I₃₃=−220.

Используя данную систему, рассчитаем контурные токи, чтобы затем выразить через них реальные токи в ветвях:

; ;

По полученным токам найдем токи в ветвях:

; ;

; .

Если в результате расчётов ток какой-либо ветви получился отрица-тельным, то это означает, что реальное направление данного тока в ветви схемы противоположно, выбранному вначале расчёта.

Уравнение баланса мощностей

Для проверки правильности расчета токов схемы необходимо составить уравнение баланса мощностей:

E₁∙I₁+E₃∙I₂=I₁²∙R₁+ I₁²∙r₁+I₂²∙R₂+ I₂²∙r₃+I₃²∙R₃+I₄²∙R₄+I₅²R₅+I₆²∙R₆

220∙14,55+110∙5,71=14,55²∙5+14,55²∙2+5,71²∙4+5,71²∙2+

+(−6,59)²∙3+12,3²∙8+(−2,25)²∙10+7,96²∙12

3829,1 = 3829,1.

Видно, что правая и левая части балансового уравнения равны между собой, следовательно, мощность, поступающая в схему от всех источников питания равна суммарной мощности, расходуемой на потребителях. Таким образом, можно сделать вывод, что токи в ветвях рассчитаны правильно.

Метод узловых потенциалов

При уже заданных направлениях токов в ветвях необходимо произвольно разметить в схеме потенциалы узлов ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃, ϕ₄. Для уменьшения вычислительной работы четвёртый узел заземляем, приравняв его потенциал к нулю, как это показано на рис. 2.1. Определим проводимость каждой из ветвей схемы:

Cм; Cм;

Cм; Cм.

Запишем стандартную систему уравнений по методу узловых потенциалов для данной схемы:

где

g₁₁=g₂+g₃+g₄=0,167+0,333+0,125=0,625 См;

g₂₂=g₁+g₃+g₆=0,143+0,333+0,083=0,559 См; g₃₃=g₂+g₅+g₆=0,167+0,1+0,083=0,35 См;

g₁₂=g₂₁=−g₃=−0,333 См;

g₃₁=g₁₃=−g₂=−0,167 См;

g₂₃=g₃₂=−g₆=−0,083 См;

J₁=E₃∙g₂=110∙0,167=18,37A;

J₂=Е₁∙g₁=220∙0,143=31,46 A;

J₃=−E₃∙g₂=−110∙0,167=−18,37 A.

Подставим полученные значения в систему и рассчитаем потенциалы узлов в схеме с помощью определителей:

; ;

В;

В.

Согласно закону Ома определим токи в ветвях:

А;

А.

Сравнение результатов расчёта

Результаты расчетов токов схемы, выполненных методом контурных токов (МКТ) и методом узловых потенциалов (МУП), представим в табл. 2.1.

Таблица 2.1

_методы^токи	I₁, А	I₂, А	I₃, А	I₄, А	I₅, А	I₆, А
МКТ	14,55	5,71	−6,59	12,3	−2,25	7,96
МУП	14,5369	5,6838	−6,6121	12,3007	−2,2508	7,9778

Сравнивая полученные результаты, видно, что они совпадают, поэтому для метода узловых потенциалов не требуется проверки балансом мощности.

Построение потенциальной диаграммы

Для построения потенциальной диаграммы необходимо в заданной схеме выделить замкнутый контур, который бы включал в себя обе ЭДС, и разметить в нём потенциальные точки, как это показано на рис. 2.2. При этом точку А заземляем и её потенциал принимаем равным нулю.

Перед построением потенциальной диаграммы надо рассчитать потенциалы точек выбранного контура A-B-C-D-F-G-A в направлении обхода, указанного пунктиром на рис. 2.2 :

В;

В; В.

Рис. 2.2

В соответствии с рассчитанными значениями выбирают масштаб по каждой из осей (m_R, Ом/см и m_U, В/см) в системе координат для построения потенциальной диаграммы (рис.2.3)

Рис. 2.3

123

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: