Физический смысл второй производной.

Министерство образования Российской Федерации

РЕФЕРАТна тему :

«Вторая производная, ее геометрический и физический смысл».

Выполнила студентка 22 ППВ группы

Синильникова Анастасия

2016 год

Введение.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Вторая производная – это производная от первой производной:

Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…»

Геометрический смысл второй производной.

Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона f' (х) положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента х. Следовательно, неравенство f" (х) > 0 указывает на то, что наклон f (x) есть возрастающая функция х и, значит, при увеличении х кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 1). Аналогично если f" (х) <0, то будем говорить, что кривая y = f (х)выпукла (рис. 2).

Рис. 1-2. Вогнутость и выпуклость кривой

Парабола y = f (х) = х² всюду вогнута, так как ее вторая производная (f" (х) = 2) всегда положительна. Кривая y = f (х) = x³ вогнута при х>0 и выпукла при х<0 ; это видно по ее второй производной f" (х) = 6х, в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при х = 0 имеем f' (х) = 3х² = 0 (но нет ни минимума, ни максимума!), а также и f" (х) = 0 при х = 0. Эта точка называется тезкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось х) пересекает кривую.

Если буква s обозначает длину дуги кривой, а буква α - угол наклона, то функция α = h (s) есть функция переменного s. При передвижении точки по кривой функция α = h (s) будет меняться. Скорость этого изменения h' (s) принято называть кривизной кривой в точке, для которой длина дуги равна s. Без доказательства отметим, что кривизна k может быть выражена с помощью первой и второй производных от функции y = f (x), определяющей кривую, согласно следующей формуле:

k = f"(x):(1 + (f'(x))²)^3/₂

Физический смысл второй производной.

Если – уравнение движения точки по ее траектории , то, как мы знаем, ее производная (производная первого порядка) представляет собой скорость V(X) движения точки (мгновенную скорость движения), но тогда производная второго порядка будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому

– ускорение движения точки в момент X. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.

Пример 17. Как известно, уравнение движения свободно падающего в безвоздушном пространстве тела, начавшего свое падение в момент , имеет вид: (S – путь, пройденный падающим телом за время T). Найдем скорость и ускорение падающего тела:

;

То есть ускорение A падающего тела неизменно и равно G – ускорению свободного падения ( м/сек2). А скорость V падающего тела возрастает пропорционально времени по формуле .

Дифференциал функции

Вернемся к записи

. Это значит, что в окрестности

, где

– бесконечно малая. Рассмотрим запись

. Она означает, что

. Отбрасывая

и умножив на

получим:

Эта простенькая формула содержит в себе великий смысл («все великое просто»). В ней содержится даже некоторое мистическое свойство. Расшифруем

,перепишем, получим:

Находясь в сегодня Y(X0) и зная

тоже сегодня, можно предсказать, что будет с нами завтра Y(X0 + DX). На языке математики это означает: не зная самой функции F(X) и таким образом, не имея возможности ее изучать, можно только с помощью двух чисел

и вычислить значения функции в другой точке, близкой к X0. Применение этой формулы способствовало решению многих физических, практических задач из различных сфер деятельности человека. Произведение

получило название дифференциала функции, правда, пришлось заменить DX на Dx (дифференциал X), имея в виду его бесконечную малость. Итак, Def:

. Дифференциал есть бесконечно малая величина. Но эта величина содержит в себе огромную информацию о функции. Точно так же капля крови под микроскопом говорит знающему человеку очень много о его здоровье. Для вычисления дифференциала надо знать производную, именно поэтому процедура нахождения производной от функции называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

1. Производная от постоянной равна нулю:

. 2. Постоянную величину можно вынести за знак производной:

. Пусть U(X) и V(X) дифференцируемые функции, тогда: 3. Производная от алгебраической суммы двух функций равна алгебраической сумме производных:

. Добавляя третье слагаемое, далее четвертое и т. д. можно получить правило по которому надо последовательно дифференцировать все слагаемые, оставляя между ними знаки «+» или «–», как они и стояли. 4. Производная от произведения превращается в сумму двух произведений:

. Можно добавить третий множитель, тогда:

. 5. Производная частного:

. В этих правилах первое свойство следует из определения производной, второе и третье является следствием из свойств пределов. Только четвертое и пятое свойство следует доказывать. С доказательством можно познакомиться в любом учебнике по математическому анализу (для вузов

Таблица производных

Это значения производных от элементарных функций. Такие таблицы имеются в любом справочнике по высшей математике. Покажем только на одном примере, как выводятся табличные производные. Пусть